题目

lim _(xarrow 1)(dfrac (1)(1-x)-dfrac (3)(1-{x)^3})=-|||-_______.

$\lim_{x\rightarrow1}(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3})=$ _____.

题目解答

答案

洛必达法则为：对于形式为“ $\frac{0}{0}$ ”的极限，可有 $\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}$ 。因为函数 $1-x^3=\left(1-x\right)\left(x^2+x+1\right)$ ，可得 $\lim_{x\rightarrow1}(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3})=\lim_{x\rightarrow1}(\frac{x^2+x+1}{\left(1-x\right)\left(x^2+x+1\right)}-\frac{3}{1-x^3})$ $=\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2+x+1-2}{\left(1-x\right)\left(x^2+x+1\right)}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2+x-2}{1-x^3}$ ，对极限使用洛必达法则得 $\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2+x-2}{1-x^3}$ $=\lim_{x\rightarrow1}\frac{\left(x^2+x-2\right)'}{\left(1-x^3\right)'}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{2x+1}{-3x^2}=\frac{3}{-3}=-1$ ，故 $\lim_{x\rightarrow1}(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3})=-1$ 。

解析

步骤 1：化简表达式
首先，我们注意到$1-x^3$可以分解为$(1-x)(1+x+x^2)$，因此原式可以写为$\lim _{x\rightarrow 1}(\dfrac {1}{1-x}-\dfrac {3}{(1-x)(1+x+x^2)})$。

步骤 2：合并分式
将两个分式合并，得到$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {1+x+x^2-3}{(1-x)(1+x+x^2)}$，进一步化简为$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {x^2+x-2}{(1-x)(1+x+x^2)}$。

步骤 3：应用洛必达法则
由于$x\rightarrow 1$时，分子和分母都趋近于0，我们应用洛必达法则，即对分子和分母分别求导，得到$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {2x+1}{-3x^2}$。

步骤 4：计算极限
将$x=1$代入上式，得到$\dfrac {2*1+1}{-3*1^2}=\dfrac {3}{-3}=-1$。