题目
函数f（x）=x-2sin(x)/(2)cos(x)/(2)，则f′（(π)/(4)）=（ ）A. 0B. 1C. (sqrt(2))/(2)D. (2-sqrt(2))/(2)
函数f（x）=x-2sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$，则f′（$\frac{π}{4}$）=（ ）
- A. 0
- B. 1
- C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- D. $\frac{2-\sqrt{2}}{2}$
题目解答
答案
解：f（x）=x-2sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$=x-sinx，
则f′（x）=1-cosx，
所以${f}′（\frac{π}{4}）$=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：D．
则f′（x）=1-cosx，
所以${f}′（\frac{π}{4}）$=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：D．
解析
步骤 1：化简函数
函数f（x）=x-2sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$，利用二倍角公式sin2θ=2sinθcosθ，可以将函数化简为f（x）=x-sinx。
步骤 2：求导
对函数f（x）=x-sinx求导，得到f′（x）=1-cosx。
步骤 3：计算f′（$\frac{π}{4}$）
将x=$\frac{π}{4}$代入f′（x）=1-cosx，得到f′（$\frac{π}{4}$）=1-cos$\frac{π}{4}$=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
函数f（x）=x-2sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$，利用二倍角公式sin2θ=2sinθcosθ，可以将函数化简为f（x）=x-sinx。
步骤 2：求导
对函数f（x）=x-sinx求导，得到f′（x）=1-cosx。
步骤 3：计算f′（$\frac{π}{4}$）
将x=$\frac{π}{4}$代入f′（x）=1-cosx，得到f′（$\frac{π}{4}$）=1-cos$\frac{π}{4}$=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$。