题目

2.积分区域为D:-1≤x≤1,0≤y≤1,则iintlimits_(D)x^3cosydx dy=_____.

2.积分区域为D:-1≤x≤1,0≤y≤1,则$\iint\limits_{D}x^{3}cosydx dy$=_____.

题目解答

答案

为了计算二重积分 $\iint\limits_{D} x^3 \cos y \, dx \, dy$，其中积分区域 $D$ 定义为 $-1 \leq x \leq 1$ 和 $0 \leq y \leq 1$，我们可以将二重积分表示为迭代积分。具体步骤如下：

  1. 将二重积分写成迭代积分：
    $\iint\limits_{D} x^3 \cos y \, dx \, dy = \int_{0}^{1} \int_{-1}^{1} x^3 \cos y \, dx \, dy$

  2. 先对 $x$ 积分：
    $\int_{-1}^{1} x^3 \cos y \, dx$
    注意到 $\cos y$ 是关于 $y$ 的函数，对于 $x$ 积分时可以看作常数。因此，可以将 $\cos y$ 提到积分号外面：
    $\int_{-1}^{1} x^3 \cos y \, dx = \cos y \int_{-1}^{1} x^3 \, dx$
    现在，我们需要计算 $\int_{-1}^{1} x^3 \, dx$。函数 $x^3$ 是一个奇函数，即 $f(-x) = -f(x)$。奇函数在对称区间 $[-a, a]$ 上的积分等于零。因此：
    $\int_{-1}^{1} x^3 \, dx = 0$
    所以：
    $\int_{-1}^{1} x^3 \cos y \, dx = \cos y \cdot 0 = 0$

  3. 对 $y$ 积分：
    $\int_{0}^{1} 0 \, dy$
    由于被积函数是 0，所以积分结果也是 0：
    $\int_{0}^{1} 0 \, dy = 0$

因此，二重积分 $\iint\limits_{D} x^3 \cos y \, dx \, dy$ 的值是 $\boxed{0}$。

解析

本题考查二重积分的计算，解题思路是将二重积分转化为迭代积分，先对$x$积分，再对$y$积分。在计算过程中，利用奇函数在对称区间上的积分性质简化计算。

  1. 将二重积分写成迭代积分：
    已知积分区域$D$为$-1\leq x\leq1$，$0\leq y\leq1$，根据二重积分化为迭代积分的方法，可得$\iint\limits_{D} x^3 \cos y \, dx \, dy = \int_{0}^{1} \int_{-1}^{1} x^3 \cos y \, dx \, dy$。
  2. 先对$x$积分：
    对于$\int_{-1}^{1} x^3 \cos y \, dx$，因为$\cos y$是关于$y$的函数，在对$x$积分时可看作常数，根据常数可以提到积分号外面的性质，有$\int_{-1}^{1} x^3 \cos y \, dx = \cos y \int_{-1}^{1} x^3 \, dx$。
  3. 计算$\int_{-1}^{1} x^3 \, dx$：
    设$f(x)=x^3$，则$f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)$，所以$f(x)=x^3$是奇函数。
    根据奇函数在对称区间$[-a,a]$上的积分性质$\int_{-a}^{a}f(x)dx = 0$，这里$a = 1$，可得$\int_{-1}^{1} x^3 \, dx = 0$。
    那么$\int_{-1}^{1} x^3 \cos y \, dx = \cos y \cdot 0 = 0$。
  4. 对$y$积分：
    此时原积分变为$\int_{0}^{1} 0 \, dy$，因为被积函数为$0$，根据积分的基本性质，$\int_{0}^{1} 0 \, dy = 0$。