题目

设 z = z(x, y) 是由方程 2xz - 2xyz + ln(xyz) = 0 所确定的隐函数，求 dz

设 $z = z(x, y)$ 是由方程 $2xz - 2xyz + \ln(xyz) = 0$ 所确定的隐函数，求 $dz$

题目解答

答案

我们要求的是由方程 $$ 2xz - 2xyz + \ln(xyz) = 0 $$ 所确定的隐函数 $ z = z(x, y) $ 的全微分 $ dz $。 --- ### 第一步：设函数 $ F(x, y, z) $ 将方程视为三元函数： $$ F(x, y, z) = 2xz - 2xyz + \ln(xyz) $$ 根据隐函数定理，若 $ F(x, y, z) = 0 $，且 $ \frac{\partial F}{\partial z} \ne 0 $，则可以将 $ z $ 表示为 $ x $ 和 $ y $ 的函数，即 $ z = z(x, y) $。 --- ### 第二步：求偏导数 我们先分别求出 $ F(x, y, z) $ 对 $ x $、$ y $、$ z $ 的偏导数： #### 1. $ \frac{\partial F}{\partial x} $ $$ \frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2xz - 2xyz + \ln(xyz)) $$ 分别求： - $ \frac{\partial}{\partial x}(2xz) = 2z $ - $ \frac{\partial}{\partial x}(-2xyz) = -2yz $ - $ \frac{\partial}{\partial x}(\ln(xyz)) = \frac{1}{xyz} \cdot yz = \frac{1}{x} $ 所以： $$ \frac{\partial F}{\partial x} = 2z - 2yz + \frac{1}{x} $$ #### 2. $ \frac{\partial F}{\partial y} $ $$ \frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2xz - 2xyz + \ln(xyz)) $$ 分别求： - $ \frac{\partial}{\partial y}(2xz) = 0 $ - $ \frac{\partial}{\partial y}(-2xyz) = -2xz $ - $ \frac{\partial}{\partial y}(\ln(xyz)) = \frac{1}{xyz} \cdot xz = \frac{1}{y} $ 所以： $$ \frac{\partial F}{\partial y} = -2xz + \frac{1}{y} $$ #### 3. $ \frac{\partial F}{\partial z} $ $$ \frac{\partial F}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(2xz - 2xyz + \ln(xyz)) $$ 分别求： - $ \frac{\partial}{\partial z}(2xz) = 2x $ - $ \frac{\partial}{\partial z}(-2xyz) = -2xy $ - $ \frac{\partial}{\partial z}(\ln(xyz)) = \frac{1}{xyz} \cdot xy = \frac{1}{z} $ 所以： $$ \frac{\partial F}{\partial z} = 2x - 2xy + \frac{1}{z} $$ --- ### 第三步：利用隐函数求导公式 根据隐函数求导公式： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial y}}{\frac{\partial F}{\partial z}} $$ 所以： $$ dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}} dx - \frac{\frac{\partial F}{\partial y}}{\frac{\partial F}{\partial z}} dy $$ 代入前面的偏导表达式： - $ \frac{\partial F}{\partial x} = 2z - 2yz + \frac{1}{x} $ - $ \frac{\partial F}{\partial y} = -2xz + \frac{1}{y} $ - $ \frac{\partial F}{\partial z} = 2x - 2xy + \frac{1}{z} $ 因此： $$ dz = -\frac{2z - 2yz + \frac{1}{x}}{2x - 2xy + \frac{1}{z}} dx - \frac{-2xz + \frac{1}{y}}{2x - 2xy + \frac{1}{z}} dy $$ --- ### 最终答案： $$ \boxed{ dz = -\frac{2z - 2yz + \frac{1}{x}}{2x - 2xy + \frac{1}{z}} dx - \frac{-2xz + \frac{1}{y}}{2x - 2xy + \frac{1}{z}} dy } $$ 这就是所求的 $ dz $。

解析

考查要点：本题主要考查隐函数的全微分求解方法，涉及多元复合函数求导法则及隐函数定理的应用。

解题核心思路：

  1. 构造辅助函数：将原方程视为三元函数$F(x, y, z) = 0$，利用隐函数定理确定$z = z(x, y)$的存在性。
  2. 计算偏导数：分别求出$F$对$x$、$y$、$z$的偏导数$\frac{\partial F}{\partial x}$、$\frac{\partial F}{\partial y}$、$\frac{\partial F}{\partial z}$。
  3. 应用隐函数求导公式：通过公式$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial z}$和$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{\partial F/\partial y}{\partial F/\partial z}$，结合全微分公式$dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$，最终得到$dz$的表达式。

破题关键点：

  • 正确计算偏导数，特别注意对数项$\ln(xyz)$的求导处理。
  • 符号处理：隐函数求导公式中的负号需准确代入，避免符号错误。

步骤1：构造辅助函数
定义$F(x, y, z) = 2xz - 2xyz + \ln(xyz)$，原方程即$F(x, y, z) = 0$。

步骤2：计算偏导数

  1. $\frac{\partial F}{\partial x}$
    $\frac{\partial F}{\partial x} = 2z - 2yz + \frac{1}{x}$

    • $2xz$对$x$导数为$2z$
    • $-2xyz$对$x$导数为$-2yz$
    • $\ln(xyz)$对$x$导数为$\frac{1}{x}$

  2. $\frac{\partial F}{\partial y}$
    $\frac{\partial F}{\partial y} = -2xz + \frac{1}{y}$

    • $2xz$对$y$导数为$0$
    • $-2xyz$对$y$导数为$-2xz$
    • $\ln(xyz)$对$y$导数为$\frac{1}{y}$

  3. $\frac{\partial F}{\partial z}$
    $\frac{\partial F}{\partial z} = 2x - 2xy + \frac{1}{z}$

    • $2xz$对$z$导数为$2x$
    • $-2xyz$对$z$导数为$-2xy$
    • $\ln(xyz)$对$z$导数为$\frac{1}{z}$

步骤3：应用隐函数求导公式
根据公式：
$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial y}}{\frac{\partial F}{\partial z}}$
代入偏导数表达式，得到：
$dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy = -\frac{2z - 2yz + \frac{1}{x}}{2x - 2xy + \frac{1}{z}}dx - \frac{-2xz + \frac{1}{y}}{2x - 2xy + \frac{1}{z}}dy$