分数量子霍尔效应1981年，崔琦和施特莫在贝尔实验室发现了分数量子霍尔效应(FQHE)．崔琦和施特莫在实验中发现，由A.C.Gossard制备的GaAs/AlGaAs 质结的表面势将电子限制在GaAs一侧的二维平面中(忽略二维电子层的厚度)．垂直二维平面施加匀强磁场B，如图1所示，当电流I通过该样品时，电流流经的路径两侧的霍尔电压VH会随着所施加的匀强磁场B增大而增大．霍尔电压VH可用对应的霍尔电阻RH=VHI表征，其中RH以he2为单位．但与通常霍尔效应不同的是，在超低温和强磁场的极限条件下，当磁场增大到某个程度时，雷尔电压VH会进入平台期，如图2中的纵轴RH=3he2处所示．这一平台期的出现意味着系统存在着带分数电荷的准粒子．本题希望研究该现象，为简单起见，忽略电子的自旋和由随机势引起的电子散射．B(x或·)-|||-L-|||-个y-|||-V1 H W I-|||-x-|||-图1观测分数量子霍尔效应的实验装置示意图-|||-电流I通过二维平面,电流流经方向的有效长度为L,电流两侧的有效宽度为W处测得的-|||-霍尔电压为VH°匀强磁场B垂直二维平面。注意:电流的方向仅是为了描述方便面给出-|||-的,并不一定正确。在经典物理中，二维电子的行为类似于带电台球在台球桌上的运动．然而在GaAs/AlGaAs样本中，由于电子和正离子的相互作用，电子质量须等效减小至等效质量m∗．在二维平面上施加磁场→B=Bˆz(垂直于二维平面)和与之垂直的电场→E=−Ey^y．(1)回答下列各小题(1)求电子在电磁场中的动力学方程．(2)当电子处于稳定状态时，求电子速度vS大小的表达式和方向．(2)请根据经典物理模型，求霍尔电阻RH的表达式，用电子数目N和磁通量Φ表示，其中Φ=BA=BWL，A为样本面积，L与W分别为样本的长和宽．在经典物理中，电子在磁场中做圆周运动．但在量子力学图景中，磁场的存在使得电子海洋中激发起微小的涡旋(称为“磁涡”)，磁场中的一个磁通量子Φ0=he生一个磁涡，其中h为普朗克常量，e为元电荷．定义填充因子ν=NNΦ，其中N为电子数目，NΦ=ΦΦ0为磁通量子数．(3)在崔琦和施特莫所发现的RH=3he2情况下，求填充因子ν的值．实验表明，当电子与整数数目(n>1)的磁涡结合在一起时会产生更大的环绕磁涡，从而将其他电子推开，因此系统在相应填充因子下的静电能就会显著降低．已知静电能U与B的a次方成正比，即U(B)∝Ba．(4)估算每个电子能量增益的标度指数a的值．随着填充因子从ν=1n向更高值偏移，电子海洋中会产生更多的磁涡，即电子海洋中的磁涡数比电子数要多．磁涡与带负电的粒子相比它们不与电子结合，表现得更像携带有效正电荷的粒子，因此称为“准空穴”．每个“准空穴”的电量都是准确的en．对于填充因子略低于ν的磁场，应用类似观点，也可以定义带负电荷的准电子的电量都是准确的e∗=−en．(5)当RH=3he2时，求恰好引入一个带分数电量的准空穴给磁场大小带来的变化ΔB的表达式．注：当准电子的数密度较小时，受到材料杂质和缺陷的随机电势的限制，霍尔电阻在有限范围内仍然是量子化的．崔琦和施莫特实验参数如下：当RH=3he2时，样品中心的磁感应强度B1/3=15 T．GaAs中电子的有效质量m∗=0.067me，电子质量me=9.1×10−31 kg．静电力常量k=9.0×109 N⋅m2/C2，真空介电常数ε0=14πk=8.854×10−12 F/m，GaAs的相对介电常数εr=13．元电荷电量e=1.6×10−19 C，普朗克常量h=6.626×10−34 J，玻尔兹曼常量kB=1.38×10−23 J/K．(6)回答以下各小题：(1)在T=1.0 K时，求电子内能Eth的值．(2)由于电子被限制在磁涡中，因此电子具有很大的动能．请利用不确定关系，估计电子动能的数量级(根据泡利不相容原理，该能量就是将两个电子从两个独立的磁涡放至同一个磁涡中所造成的能量损失)．在分析中忽略以上两种能量，因为(6)小题中对应的能量尺度与(4)小题中的ΔU比起来要么太大要么太小．B(x或·)-|||-L-|||-个y-|||-V1 H W I-|||-x-|||-图1观测分数量子霍尔效应的实验装置示意图-|||-电流I通过二维平面,电流流经方向的有效长度为L,电流两侧的有效宽度为W处测得的-|||-霍尔电压为VH°匀强磁场B垂直二维平面。注意:电流的方向仅是为了描述方便面给出-|||-的,并不一定正确。如图2所示，在崔琦和施莫特的实验中，在RH=hie2(i=1，2，3，⋯)处也出现了一系列的所谓“平台期”，这就是克劳斯·冯·克利青在1980年发现的整数量子霍尔效应(IQHE)．对整数量子霍尔效应重复(3)∼(6)小题的操作，就可发现分数量子霍尔效应与整数量子霍尔效应的不同之处的原因在于分数量子霍尔效应中存在带分数电荷的准电子．1997年，R.dePicciotto等入和L.Saminadayar等入分别观察到了填充因子ν=13时存在分数电荷，并测量了通过狭窄通道(所谓“量子点接触(QPC)”)的电荷电流中的噪声．利用简单的统计模型，带有离散电荷e∗的载流子通过量子点接触并产生电荷电流IB(在微不足道的背景中)．在足够小的时间间隔τ内到达电极的载流子数量nτ服从带参数λ的概率泊松分布：P(nτ=k)=λke−λk!已知eλ=∞∑k=0λkk!．(7)电流IB的意义为单位时间内通过的总电荷量，求电流IB的表达式，用λ和τ表示．电流噪声定义为单位时间内的电荷波动，可通过测量载流电荷量的方差来分析噪声．(8)请根据载流电荷的离散性确定电流噪声SI的表达式，用λ和τ表示．(9)求噪音−电流比SIIB的表达式．R.dePicciotto等入和L.Saminadayar等入在1997年证实了噪声-电流比结果．1998年，崔琦、施特莫和劳克林共同获得了诺贝尔物理学奖，劳克林的贡献在于给出了ν=13的波长．

分数量子霍尔效应

1981年，崔琦和施特莫在贝尔实验室发现了分数量子霍尔效应(FQHE)．崔琦和施特莫在实验中发现，由A.C.Gossard制备的GaAs/AlGaAs 质结的表面势将电子限制在GaAs一侧的二维平面中(忽略二维电子层的厚度)．垂直二维平面施加匀强磁场B，如图1所示，当电流I通过该样品时，电流流经的路径两侧的霍尔电压VH会随着所施加的匀强磁场B增大而增大．霍尔电压VH可用对应的霍尔电阻RH=VHI表征，其中RH以he2为单位．但与通常霍尔效应不同的是，在超低温和强磁场的极限条件下，当磁场增大到某个程度时，雷尔电压VH会进入平台期，如图2中的纵轴RH=3he2处所示．这一平台期的出现意味着系统存在着带分数电荷的准粒子．本题希望研究该现象，为简单起见，忽略电子的自旋和由随机势引起的电子散射．

在经典物理中，二维电子的行为类似于带电台球在台球桌上的运动．然而在GaAs/AlGaAs样本中，由于电子和正离子的相互作用，电子质量须等效减小至等效质量m∗．在二维平面上施加磁场→B=Bˆz(垂直于二维平面)和与之垂直的电场→E=−Ey^y．

(1)

回答下列各小题

(1)

求电子在电磁场中的动力学方程．

(2)

当电子处于稳定状态时，求电子速度vS大小的表达式和方向．

(2)

请根据经典物理模型，求霍尔电阻RH的表达式，用电子数目N和磁通量Φ表示，其中Φ=BA=BWL，A为样本面积，L与W分别为样本的长和宽．

在经典物理中，电子在磁场中做圆周运动．但在量子力学图景中，磁场的存在使得电子海洋中激发起微小的涡旋(称为“磁涡”)，磁场中的一个磁通量子Φ0=he生一个磁涡，其中h为普朗克常量，e为元电荷．定义填充因子ν=NNΦ，其中N为电子数目，NΦ=ΦΦ0为磁通量子数．

(3)

在崔琦和施特莫所发现的RH=3he2情况下，求填充因子ν的值．

实验表明，当电子与整数数目(n>1)的磁涡结合在一起时会产生更大的环绕磁涡，从而将其他电子推开，因此系统在相应填充因子下的静电能就会显著降低．已知静电能U与B的a次方成正比，即U(B)∝Ba．

(4)

估算每个电子能量增益的标度指数a的值．

随着填充因子从ν=1n向更高值偏移，电子海洋中会产生更多的磁涡，即电子海洋中的磁涡数比电子数要多．磁涡与带负电的粒子相比它们不与电子结合，表现得更像携带有效正电荷的粒子，因此称为“准空穴”．每个“准空穴”的电量都是准确的en．对于填充因子略低于ν的磁场，应用类似观点，也可以定义带负电荷的准电子的电量都是准确的e∗=−en．

(5)

当RH=3he2时，求恰好引入一个带分数电量的准空穴给磁场大小带来的变化ΔB的表达式．注：当准电子的数密度较小时，受到材料杂质和缺陷的随机电势的限制，霍尔电阻在有限范围内仍然是量子化的．

崔琦和施莫特实验参数如下：

当RH=3he2时，样品中心的磁感应强度B1/3=15 T．GaAs中电子的有效质量m∗=0.067me，电子质量me=9.1×10−31 kg．静电力常量k=9.0×109 N⋅m2/C2，真空介电常数ε0=14πk=8.854×10−12 F/m，GaAs的相对介电常数εr=13．元电荷电量e=1.6×10−19 C，普朗克常量h=6.626×10−34 J，玻尔兹曼常量kB=1.38×10−23 J/K．

(6)

回答以下各小题：

(1)

在T=1.0 K时，求电子内能Eth的值．

(2)

由于电子被限制在磁涡中，因此电子具有很大的动能．请利用不确定关系，估计电子动能的数量级(根据泡利不相容原理，该能量就是将两个电子从两个独立的磁涡放至同一个磁涡中所造成的能量损失)．

在分析中忽略以上两种能量，因为(6)小题中对应的能量尺度与(4)小题中的ΔU比起来要么太大要么太小．

如图2所示，在崔琦和施莫特的实验中，在RH=hie2(i=1，2，3，⋯)处也出现了一系列的所谓“平台期”，这就是克劳斯·冯·克利青在1980年发现的整数量子霍尔效应(IQHE)．对整数量子霍尔效应重复(3)∼(6)小题的操作，就可发现分数量子霍尔效应与整数量子霍尔效应的不同之处的原因在于分数量子霍尔效应中存在带分数电荷的准电子．

1997年，R.dePicciotto等入和L.Saminadayar等入分别观察到了填充因子ν=13时存在分数电荷，并测量了通过狭窄通道(所谓“量子点接触(QPC)”)的电荷电流中的噪声．利用简单的统计模型，带有离散电荷e∗的载流子通过量子点接触并产生电荷电流IB(在微不足道的背景中)．在足够小的时间间隔τ内到达电极的载流子数量nτ服从带参数λ的概率泊松分布：

P(nτ=k)=λke−λk!

已知eλ=∞∑k=0λkk!．

(7)

电流IB的意义为单位时间内通过的总电荷量，求电流IB的表达式，用λ和τ表示．

电流噪声定义为单位时间内的电荷波动，可通过测量载流电荷量的方差来分析噪声．

(8)

请根据载流电荷的离散性确定电流噪声SI的表达式，用λ和τ表示．

(9)

求噪音−电流比SIIB的表达式．

R.dePicciotto等入和L.Saminadayar等入在1997年证实了噪声-电流比结果．1998年，崔琦、施特莫和劳克林共同获得了诺贝尔物理学奖，劳克林的贡献在于给出了ν=13的波长．