离散型随机变量 X 的分布律 PX = k = a times ((1)/(2))^k (k = 0, 1, 2, 3, ...)，其中 a 是常数，则 a 的值为().A. (1)/(2)B. (1)/(3)C. (1)/(4)D. (1)/(8)

考查要点：本题主要考查离散型随机变量分布律的基本性质，即所有可能取值的概率之和等于1，以及等比数列求和公式的应用。

解题核心思路：
根据离散型随机变量概率的规范性条件，所有概率之和为1，即$\sum_{k=0}^\infty P\{X = k\} = 1$。题目中概率表达式为$a \times (\frac{1}{2})^k$，需将其视为等比数列求和，利用等比数列求和公式求出总和，再解方程得到$a$的值。

破题关键点：

1. 识别等比数列结构：概率表达式中的$(\frac{1}{2})^k$是公比为$\frac{1}{2}$的等比数列。
2. 应用等比数列求和公式：首项为1，公比$\frac{1}{2}$，和为$\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$。
3. 建立方程求解：总和为$a \times 2 = 1$，解得$a = \frac{1}{2}$。

根据离散型随机变量概率总和为1的性质，有：
$\sum_{k=0}^\infty P\{X = k\} = \sum_{k=0}^\infty a \left(\frac{1}{2}\right)^k = 1$

步骤1：提取常数$a$
将$a$提出，得到：
$a \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^k = 1$

步骤2：应用等比数列求和公式
等比数列首项为1，公比为$\frac{1}{2}$，其和为：
$\sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$

步骤3：解方程求$a$
代入总和结果：
$a \times 2 = 1 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{1}{2}$