题目

(考试题)求lim_(xto0)((1+x)^frac(1)/(x)-e)(ln(1+x));

(考试题)求$\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-e}{\ln(1+x)};$

题目解答

答案

为了求解极限 $\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-e}{\ln(1+x)}$，我们首先需要对表达式进行一些变换和分析。 1. **定义 $y = (1+x)^{\frac{1}{x}}$**: \[ \ln y = \ln \left( (1+x)^{\frac{1}{x}} \right) = \frac{1}{x} \ln (1+x) \] 当 $x \to 0$ 时，$\ln y \to \ln e = 1$，因此 $y \to e$。 2. **将 $y$ 代入原极限**: \[ \lim_{x\to0}\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-e}{\ln(1+x)} = \lim_{x\to0}\frac{y-e}{\ln(1+x)} \] 3. **使用 $y = e^{\ln y}$**: \[ y = e^{\frac{1}{x} \ln (1+x)} \] 所以原极限变为: \[ \lim_{x\to0}\frac{e^{\frac{1}{x} \ln (1+x)} - e}{\ln(1+x)} \] 4. **使用 $e^u$ 的泰勒展开**: 令 $u = \frac{1}{x} \ln (1+x) - 1$，则 $e^{\frac{1}{x} \ln (1+x)} = e^{1+u} = e \cdot e^u$。当 $x \to 0$ 时， $u \to 0$。使用 $e^u$ 的泰勒展开 $e^u \approx 1 + u + O(u^2)$，我们得到: \[ e^{\frac{1}{x} \ln (1+x)} \approx e \cdot (1 + u) = e + eu \] 所以原极限可以近似为: \[ \lim_{x\to0}\frac{e + eu - e}{\ln(1+x)} = \lim_{x\to0}\frac{eu}{\ln(1+x)} \] 5. **代入 $u$ 的表达式**: \[ u = \frac{1}{x} \ln (1+x) - 1 = \frac{\ln (1+x) - x}{x} \] 所以原极限变为: \[ \lim_{x\to0}\frac{e \left( \frac{\ln (1+x) - x}{x} \right)}{\ln(1+x)} = e \lim_{x\to0} \frac{\ln (1+x) - x}{x \ln (1+x)} \] 6. **使用 $\ln(1+x)$ 的泰勒展开**: \[ \ln (1+x) \approx x - \frac{x^2}{2} + O(x^3) \] 所以: \[ \ln (1+x) - x \approx \left( x - \frac{x^2}{2} \right) - x = -\frac{x^2}{2} \] 和: \[ x \ln (1+x) \approx x \left( x - \frac{x^2}{2} \right) = x^2 - \frac{x^3}{2} \approx x^2 \] 所以原极限变为: \[ e \lim_{x\to0} \frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2} = e \lim_{x\to0} \left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{e}{2} \] 因此，极限的值是: \[ \boxed{-\frac{e}{2}} \]

解析

考查要点：本题主要考查极限的求解方法，特别是涉及指数函数和对数函数的泰勒展开、等价无穷小替换以及洛必达法则的应用。

解题核心思路：

  1. 识别极限类型：当$x \to 0$时，分子$(1+x)^{1/x} - e$和分母$\ln(1+x)$均趋近于$0$，属于$\frac{0}{0}$型不定式，可考虑使用泰勒展开或洛必达法则。
  2. 变形与展开：将$(1+x)^{1/x}$表示为$e^{\frac{\ln(1+x)}{x}}$，利用泰勒展开对分子进行展开，结合分母的展开式化简。
  3. 关键替换：通过将指数部分写成$1 + u$的形式，利用$e^u \approx 1 + u$（当$u \to 0$时）简化分子表达式，最终通过约简得到极限值。

破题关键点：

  • 泰勒展开的应用：对$\ln(1+x)$和$e^u$进行展开，保留足够多的项以保证精度。
  • 等价无穷小替换：将复杂的表达式替换为等价的简单形式，如$\ln(1+x) \sim x$，但需注意高阶项的影响。

步骤1：将分子变形为指数形式
令$y = (1+x)^{1/x}$，则$\ln y = \frac{\ln(1+x)}{x}$。当$x \to 0$时，$\ln y \to 1$，故$y \to e$。原极限可表示为：
$\lim_{x \to 0} \frac{y - e}{\ln(1+x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{\frac{\ln(1+x)}{x}} - e}{\ln(1+x)}.$

步骤2：展开指数部分
令$u = \frac{\ln(1+x)}{x} - 1$，则$e^{\frac{\ln(1+x)}{x}} = e^{1+u} = e \cdot e^u$。当$x \to 0$时，$u \to 0$，利用泰勒展开$e^u \approx 1 + u$，分子可近似为：
$e \cdot (1 + u) - e = e \cdot u.$

步骤3：代入$u$的表达式
$u = \frac{\ln(1+x)}{x} - 1 = \frac{\ln(1+x) - x}{x}.$
因此，原极限变为：
$\lim_{x \to 0} \frac{e \cdot \frac{\ln(1+x) - x}{x}}{\ln(1+x)} = e \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) - x}{x \ln(1+x)}.$

步骤4：展开$\ln(1+x)$
利用泰勒展开$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$，代入分子和分母：
$\ln(1+x) - x = -\frac{x^2}{2} + o(x^2), \quad x \ln(1+x) = x^2 - \frac{x^3}{2} + o(x^3).$
因此，极限化简为：
$e \cdot \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2} = e \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{e}{2}.$