题目

(11)int(10^2arcsinx)/(sqrt(1-x^2)) dx;

(11)$\int\frac{10^{2arcsinx}}{\sqrt{1-x^{2}} }dx;$

题目解答

答案

设 $u = \arcsin x$，则 $x = \sin u$，$dx = \cos u \, du$，且 $\cos u = \sqrt{1 - x^2}$。代入原积分得： \[ \int \frac{10^{2u}}{\sqrt{1 - \sin^2 u}} \cos u \, du = \int 10^{2u} \, du \] 利用指数函数积分公式 $\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$，得： \[ \int 10^{2u} \, du = \frac{10^{2u}}{2 \ln 10} + C \] 将 $u = \arcsin x$ 代回，得： \[ \boxed{\frac{10^{2 \arcsin x}}{2 \ln 10} + C} \] 或者表示为： \[ \boxed{\frac{100^{\arcsin x}}{2 \ln 10} + C} \]

解析

考查要点：本题主要考查换元积分法的应用，特别是处理含有反三角函数和指数函数的积分问题。

解题核心思路：

  1. 观察积分结构，发现分母为$\sqrt{1-x^2}$，分子为$10^{2\arcsin x}$，提示可以尝试变量替换简化积分。
  2. 选择替换变量：设$u = \arcsin x$，利用三角恒等式$\sqrt{1-x^2} = \cos u$，将原积分转化为关于$u$的简单指数积分。
  3. 应用指数函数积分公式，最终代回原变量得到结果。

破题关键点：

  • 正确选择替换变量，将$\arcsin x$设为新变量$u$，简化积分表达式。
  • 注意替换后的微分关系，即$dx = \cos u \, du$，并与分母中的$\sqrt{1-x^2}$结合消去复杂项。

步骤1：变量替换
设$u = \arcsin x$，则$x = \sin u$，且$dx = \cos u \, du$。
根据三角恒等式，$\sqrt{1-x^2} = \cos u$。

步骤2：代入原积分
原积分变为：
$\int \frac{10^{2u}}{\cos u} \cdot \cos u \, du = \int 10^{2u} \, du$
分母$\cos u$与$dx$中的$\cos u$抵消，积分简化为$\int 10^{2u} \, du$。

步骤3：计算指数积分
利用公式$\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$，得：
$\int 10^{2u} \, du = \frac{10^{2u}}{2 \ln 10} + C$

步骤4：代回原变量
将$u = \arcsin x$代入，最终结果为：
$\frac{10^{2 \arcsin x}}{2 \ln 10} + C \quad \text{或} \quad \frac{100^{\arcsin x}}{2 \ln 10} + C$