15.(判断题，2分)设A，B都是n阶方阵，则(AB)^k=A^kB^k(k为正整数).()A. 对B. 错

考查要点：本题主要考查矩阵乘法的性质，特别是矩阵乘法不满足交换律这一关键点，以及矩阵幂运算的展开方式。

解题核心思路：
矩阵乘法的结合律成立，但交换律不一定成立。因此，$(AB)^k$的展开需要严格按照乘法顺序进行，而$A^k B^k$隐含了$A$和$B$可以交换的前提。若$A$和$B$不可交换，则两者一般不相等。

破题关键点：
通过构造反例（选取不可交换的矩阵$A$和$B$），验证当$k=2$时$(AB)^2 \neq A^2 B^2$，从而说明原命题不成立。

步骤1：分析一般情况
对于任意正整数$k$，若$A$和$B$可交换（即$AB=BA$），则$(AB)^k = A^k B^k$成立。但题目未给出$A$和$B$可交换的条件，因此需考虑一般情况。

步骤2：验证$k=2$的反例
取具体矩阵：
$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
计算得：
$AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad BA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$
显然$AB \neq BA$，即$A$和$B$不可交换。

进一步计算：
$(AB)^2 = AB \cdot AB = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}, \quad A^2 B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 4 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$
显然$(AB)^2 \neq A^2 B^2$，说明原等式不成立。

结论：当$A$和$B$不可交换时，$(AB)^k \neq A^k B^k$，因此命题错误。