题目

3、计算(2+i)(3+i)，并证明arctan(1)/(2)+arctan(1)/(3)=(pi)/(4).

3、计算(2+i)(3+i)，并证明$\arctan\frac{1}{2}+\arctan\frac{1}{3}=\frac{\pi}{4}$.

题目解答

答案

计算复数 $(2+i)(3+i)$： \[ (2+i)(3+i) = 6 + 2i + 3i + i^2 = 6 + 5i - 1 = 5 + 5i \] 证明 $\arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3} = \frac{\pi}{4}$： 利用复数幅角性质，$\arg(2+i) = \arctan\frac{1}{2}$，$\arg(3+i) = \arctan\frac{1}{3}$，且 \[ \arg[(2+i)(3+i)] = \arg(5+5i) = \arctan\frac{5}{5} = \arctan 1 = \frac{\pi}{4} \] 或使用反正切和公式： \[ \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3} = \arctan\left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{6}}\right) = \arctan 1 = \frac{\pi}{4} \] **答案：** \[ \boxed{ \begin{array}{cc} (2+i)(3+i) = 5 + 5i \\ \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3} = \frac{\pi}{4} \end{array} } \]

解析

考查要点：本题综合考查复数的乘法运算及反正切函数的和角公式，需结合复数的几何意义（幅角）或代数公式进行证明。

解题核心思路：

  1. 复数乘法：直接展开并合并同类项，注意$i^2 = -1$。
  2. 反正切和角公式：利用$\arctan a + \arctan b = \arctan\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)$（需验证$ab < 1$）或通过复数乘法的幅角性质推导。

破题关键点：

  • 复数乘法的正确展开：避免符号错误。
  • 公式适用条件：使用反正切和角公式时需确保分母不为零且结果在主值范围内。

计算复数$(2+i)(3+i)$

展开乘法

根据分配律展开：
$(2+i)(3+i) = 2 \cdot 3 + 2 \cdot i + i \cdot 3 + i \cdot i$

合并同类项

逐项计算：

  • $2 \cdot 3 = 6$
  • $2 \cdot i = 2i$
  • $i \cdot 3 = 3i$
  • $i \cdot i = i^2 = -1$

合并后：
$6 + 2i + 3i + (-1) = (6 - 1) + (2i + 3i) = 5 + 5i$

证明$\arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3} = \frac{\pi}{4}$

方法一：复数幅角性质

  1. 复数的幅角：

    • $\arg(2+i) = \arctan\frac{1}{2}$（复数$2+i$对应点$(2,1)$）
    • $\arg(3+i) = \arctan\frac{1}{3}$（复数$3+i$对应点$(3,1)$）

  2. 乘积的幅角：
    复数乘法的幅角相加，即：
    $\arg[(2+i)(3+i)] = \arg(5+5i) = \arctan\frac{5}{5} = \arctan 1 = \frac{\pi}{4}$

方法二：反正切和角公式

  1. 公式应用：
    根据公式：
    $\arctan a + \arctan b = \arctan\left(\frac{a+b}{1-ab}\right) \quad (ab < 1)$
    代入$a = \frac{1}{2}$，$b = \frac{1}{3}$：
    $\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{5}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1$

  2. 结论：
    $\arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3} = \arctan 1 = \frac{\pi}{4}$