题目
设 2 为方阵 A 的一个特征值则下列矩阵一定不可逆的是（ ）。A.B.C.D.
设 2 为方阵 A 的一个特征值则下列矩阵一定不可逆的是（ ）。
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
由n级矩阵的特征值的定义：设A是n阶方阵，如果λ称为矩阵A特征值数，则存在n维非零列向量x使关系式
成立，即
。又x 为非零向量，所以
。
所以若 2 为方阵 A 的一个特征值，则有
，所以矩阵的行列式
为0，所以矩阵一定不可逆，选项C符合题目要求。
而对于其他矩阵、和不能直接判定它们的行列式是否为0，所以不能确定是否可逆，即选项A、B、D不符合题目要求。
所以答案为，故选C。
解析
考查要点：本题主要考查矩阵特征值的性质与矩阵可逆性的关系。
解题核心思路：若已知矩阵$A$的某个特征值，则可通过特征值的定义推导出对应矩阵的行列式是否为零，从而判断其是否可逆。
破题关键点：
- 特征值的定义：若$\lambda$是$A$的特征值，则$|A - \lambda E| = 0$，即$A - \lambda E$不可逆。
- 选项分析：将每个选项转化为与特征值相关的矩阵形式，判断其行列式是否必然为零。
已知$2$是方阵$A$的一个特征值，根据特征值的定义，存在非零向量$x$，使得：
$Ax = 2x \quad \Rightarrow \quad (A - 2E)x = 0.$
由于$x \neq 0$，故矩阵$A - 2E$的行列式为零，即：
$|A - 2E| = 0.$
因此，矩阵$A - 2E$一定不可逆。
选项分析：
- 选项C（$A - 2E$）：直接对应$A - 2E$，行列式为零，不可逆。
- 其他选项：
- 选项A（$A + 2E$）：若$A$的其他特征值加$2$后不为零，则可能可逆。
- 选项B（$A + E$）：若$A$的其他特征值加$1$后不为零，则可能可逆。
- 选项D（$A - E$）：若$A$的其他特征值减$1$后不为零，则可能可逆。
综上，只有选项C一定不可逆。