(2)设函数f(x)在区间 (-1,1) 内有定义,且 lim _(xarrow 0)f(x)=0, 则-|||-(A)当 lim _(xarrow 0)dfrac (f(x))(sqrt {|x|)}=0, f(x)在 x=0 处可导.-|||-(B)当 lim _(xarrow 0)dfrac (f(x))({x)^2}=0 (x)在 x=0 处可导.-|||-(C)当f(x)在 x=0 处可导时, lim _(xarrow 0)dfrac (f(x))(sqrt {|x|)}=0.-|||-(D)当f(x)在 x=0 处可导时, lim _(xarrow 0)dfrac (f(x))({x)^2}=0.A、AB、BC、CD、D

考查要点：本题主要考查函数在某点可导的定义及其与不同阶无穷小之间的关系，需要结合极限与导数的定义进行分析。

解题核心思路：

1. 可导的定义：函数$f(x)$在$x=0$处可导，当且仅当极限$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$存在。
2. 极限与阶的关系：通过比较$f(x)$与不同阶无穷小（如$\sqrt{|x|}$、$x^2$）的比值，判断$f(x)$的阶是否满足可导条件，或可导时是否必然导致特定极限成立。

破题关键点：

• 选项C的关键在于：若$f(x)$在$x=0$处可导，则$f(x)$的阶必低于$\sqrt{|x|}$，从而$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\sqrt{|x|}} = 0$必然成立。
• 选项D的反例：若$f(x)$的导数$f'(0) \neq 0$，则$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2}$可能不存在。

选项A分析

若$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\sqrt{|x|}} = 0$，则$f(x)$比$\sqrt{|x|}$更高阶无穷小。但导数定义要求$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$存在。例如，取$f(x) = x^{3/2}$，此时$\frac{f(x)}{x} = x^{1/2} \to 0$，导数存在；但若$f(x) = x^{1/4}$，则$\frac{f(x)}{\sqrt{|x|}} = x^{-1/4} \to \infty$，不满足条件。因此选项A不一定成立。

选项B分析

若$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2} = 0$，则$f(x)$比$x^2$更高阶无穷小。此时$\frac{f(x)}{x} = \frac{f(x)}{x^2} \cdot x \to 0$，导数存在。例如，$f(x) = x^3$时，$\frac{f(x)}{x^2} = x \to 0$，导数为$0$。因此选项B成立。

选项C分析

若$f(x)$在$x=0$处可导，则$f(0) = 0$（连续性），且$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = f'(0)$存在。因此：
$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\sqrt{|x|}} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{f(x)}{x} \cdot \sqrt{|x|} \right) = f'(0) \cdot 0 = 0.$
选项C必然成立。

选项D分析

若$f(x)$在$x=0$处可导，则$f(x) \approx f'(0)x$，此时$\frac{f(x)}{x^2} \approx \frac{f'(0)}{x}$。若$f'(0) \neq 0$，则$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2}$不存在。例如，$f(x) = x$时，$\frac{f(x)}{x^2} = \frac{1}{x} \to \infty$。选项D不一定成立。