题目
(2)设函数f(x)在区间 (-1,1) 内有定义,且 lim _(xarrow 0)f(x)=0, 则-|||-(A)当 lim _(xarrow 0)dfrac (f(x))(sqrt {|x|)}=0, f(x)在 x=0 处可导.-|||-(B)当 lim _(xarrow 0)dfrac (f(x))({x)^2}=0 (x)在 x=0 处可导.-|||-(C)当f(x)在 x=0 处可导时, lim _(xarrow 0)dfrac (f(x))(sqrt {|x|)}=0.-|||-(D)当f(x)在 x=0 处可导时, lim _(xarrow 0)dfrac (f(x))({x)^2}=0.A、AB、BC、CD、D
- A、A
- B、B
- C、C
- D、D
题目解答
答案
C
解析
步骤 1：分析选项 (A)
- 当 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{\sqrt {|x|}}=0$ 时，说明 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的值比 $\sqrt{|x|}$ 更快地趋于 0。这并不足以保证 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，因为可导性需要 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的导数存在，即 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)-f(0)}{x}$ 存在。因此，选项 (A) 不正确。
步骤 2：分析选项 (B)
- 当 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{{x}^{2}}=0$ 时，说明 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的值比 $x^2$ 更快地趋于 0。这同样不足以保证 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导。因此，选项 (B) 不正确。
步骤 3：分析选项 (C)
- 当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时，说明 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)-f(0)}{x}$ 存在。由于 $\lim _{x\rightarrow 0}f(x)=0$，则 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{\sqrt {|x|}}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)-f(0)}{\sqrt {|x|}}=0$。因此，选项 (C) 正确。
步骤 4：分析选项 (D)
- 当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时，说明 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)-f(0)}{x}$ 存在。由于 $\lim _{x\rightarrow 0}f(x)=0$，则 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{{x}^{2}}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)-f(0)}{{x}^{2}}$ 不一定为 0。因此，选项 (D) 不正确。
- 当 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{\sqrt {|x|}}=0$ 时，说明 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的值比 $\sqrt{|x|}$ 更快地趋于 0。这并不足以保证 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，因为可导性需要 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的导数存在，即 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)-f(0)}{x}$ 存在。因此，选项 (A) 不正确。
步骤 2：分析选项 (B)
- 当 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{{x}^{2}}=0$ 时，说明 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的值比 $x^2$ 更快地趋于 0。这同样不足以保证 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导。因此，选项 (B) 不正确。
步骤 3：分析选项 (C)
- 当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时，说明 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)-f(0)}{x}$ 存在。由于 $\lim _{x\rightarrow 0}f(x)=0$，则 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{\sqrt {|x|}}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)-f(0)}{\sqrt {|x|}}=0$。因此，选项 (C) 正确。
步骤 4：分析选项 (D)
- 当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时，说明 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)-f(0)}{x}$ 存在。由于 $\lim _{x\rightarrow 0}f(x)=0$，则 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{{x}^{2}}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)-f(0)}{{x}^{2}}$ 不一定为 0。因此，选项 (D) 不正确。