题目
例2一质量为0.01kg的物体作简谐运动其振幅为0.08m,周期为4s,起始时刻物体-|||-在 x=0.04m 处,向Ox轴负方向运动(图 14-9 .试求-|||-(1) t=1.0s 时,物体所处的位置和所受的力;-|||-(2)由起始位置运动到 x=-0.04m 处所需要的最短时间.-|||-08 -0.04 () 0.04 0.08 x/m
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定简谐运动的角频率
简谐运动的角频率 $\omega$ 可以通过周期 $T$ 来计算，公式为 $\omega = \frac{2\pi}{T}$。已知周期 $T = 4s$，代入公式得 $\omega = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} s^{-1}$。
步骤 2：确定简谐运动的初相位
简谐运动的方程为 $x = A \cos(\omega t + \varphi)$，其中 $A$ 是振幅，$\varphi$ 是初相位。已知起始时刻 $t = 0$ 时，$x = 0.04m$，代入简谐运动方程得 $0.04m = (0.08m) \cos(\frac{\pi}{2} \cdot 0 + \varphi)$，即 $\cos(\varphi) = \frac{0.04}{0.08} = \frac{1}{2}$。因此，$\varphi = \pm \frac{\pi}{3}$。由于物体向Ox轴负方向运动，所以 $\varphi = \frac{\pi}{3}$。
步骤 3：计算 t=1.0s 时物体的位置和所受的力
将 $\omega = \frac{\pi}{2} s^{-1}$ 和 $\varphi = \frac{\pi}{3}$ 代入简谐运动方程，得 $x = (0.08m) \cos(\frac{\pi}{2} t + \frac{\pi}{3})$。将 $t = 1.0s$ 代入方程，得 $x = (0.08m) \cos(\frac{\pi}{2} \cdot 1.0 + \frac{\pi}{3}) = (0.08m) \cos(\frac{5\pi}{6}) = -0.069m$。物体所受的力 $F = -kx = -m\omega^2x$，代入已知值，得 $F = -(0.01kg) \cdot (\frac{\pi}{2} s^{-1})^2 \cdot (-0.069m) = 1.70 \times 10^{-3} N$。
步骤 4：计算由起始位置运动到 x=-0.04m 处所需要的最短时间
将 $x = -0.04m$ 代入简谐运动方程，得 $-0.04m = (0.08m) \cos(\frac{\pi}{2} t + \frac{\pi}{3})$，即 $\cos(\frac{\pi}{2} t + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$。因此，$\frac{\pi}{2} t + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$，解得 $t = \frac{2}{3}s = 0.667s$。
简谐运动的角频率 $\omega$ 可以通过周期 $T$ 来计算，公式为 $\omega = \frac{2\pi}{T}$。已知周期 $T = 4s$，代入公式得 $\omega = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} s^{-1}$。
步骤 2：确定简谐运动的初相位
简谐运动的方程为 $x = A \cos(\omega t + \varphi)$，其中 $A$ 是振幅，$\varphi$ 是初相位。已知起始时刻 $t = 0$ 时，$x = 0.04m$，代入简谐运动方程得 $0.04m = (0.08m) \cos(\frac{\pi}{2} \cdot 0 + \varphi)$，即 $\cos(\varphi) = \frac{0.04}{0.08} = \frac{1}{2}$。因此，$\varphi = \pm \frac{\pi}{3}$。由于物体向Ox轴负方向运动，所以 $\varphi = \frac{\pi}{3}$。
步骤 3：计算 t=1.0s 时物体的位置和所受的力
将 $\omega = \frac{\pi}{2} s^{-1}$ 和 $\varphi = \frac{\pi}{3}$ 代入简谐运动方程，得 $x = (0.08m) \cos(\frac{\pi}{2} t + \frac{\pi}{3})$。将 $t = 1.0s$ 代入方程，得 $x = (0.08m) \cos(\frac{\pi}{2} \cdot 1.0 + \frac{\pi}{3}) = (0.08m) \cos(\frac{5\pi}{6}) = -0.069m$。物体所受的力 $F = -kx = -m\omega^2x$，代入已知值，得 $F = -(0.01kg) \cdot (\frac{\pi}{2} s^{-1})^2 \cdot (-0.069m) = 1.70 \times 10^{-3} N$。
步骤 4：计算由起始位置运动到 x=-0.04m 处所需要的最短时间
将 $x = -0.04m$ 代入简谐运动方程，得 $-0.04m = (0.08m) \cos(\frac{\pi}{2} t + \frac{\pi}{3})$，即 $\cos(\frac{\pi}{2} t + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$。因此，$\frac{\pi}{2} t + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$，解得 $t = \frac{2}{3}s = 0.667s$。