题目
lim _(x arrow 2) (sin xy)/(y) = ( )A. inftyB. 0C. 1D. 2
$\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sin xy}{y} = (\quad)$
A. $\infty$
B. 0
C. 1
D. 2
题目解答
答案
D. 2
解析
步骤 1：分析极限表达式
给定的极限表达式是 $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sin xy}{y}$。为了求解这个极限，我们需要考虑 $y$ 的值。题目中没有明确给出 $y$ 的值，因此我们需要分情况讨论。
步骤 2：讨论 $y \neq 0$ 的情况
如果 $y \neq 0$，我们可以直接将 $x = 2$ 代入表达式中，得到 $\frac{\sin 2y}{y}$。这个表达式的值取决于 $y$ 的值，但它是有限的，不是无穷大。
步骤 3：讨论 $y = 0$ 的情况
如果 $y = 0$，则表达式 $\frac{\sin xy}{y}$ 变为 $\frac{\sin 0}{0}$，这是一个未定式 $\frac{0}{0}$。我们可以使用洛必达法则或利用重要极限 $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$ 来求解。令 $u = xy$，当 $x \to 2$ 时，$u \to 2y$。如果 $y = 0$，则 $u \to 0$。因此，我们有：
\[ \lim_{x \to 2} \frac{\sin xy}{y} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{\frac{u}{2}} = \lim_{u \to 0} 2 \cdot \frac{\sin u}{u} = 2 \cdot 1 = 2 \]
给定的极限表达式是 $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sin xy}{y}$。为了求解这个极限，我们需要考虑 $y$ 的值。题目中没有明确给出 $y$ 的值，因此我们需要分情况讨论。
步骤 2：讨论 $y \neq 0$ 的情况
如果 $y \neq 0$，我们可以直接将 $x = 2$ 代入表达式中，得到 $\frac{\sin 2y}{y}$。这个表达式的值取决于 $y$ 的值，但它是有限的，不是无穷大。
步骤 3：讨论 $y = 0$ 的情况
如果 $y = 0$，则表达式 $\frac{\sin xy}{y}$ 变为 $\frac{\sin 0}{0}$，这是一个未定式 $\frac{0}{0}$。我们可以使用洛必达法则或利用重要极限 $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$ 来求解。令 $u = xy$，当 $x \to 2$ 时，$u \to 2y$。如果 $y = 0$，则 $u \to 0$。因此，我们有：
\[ \lim_{x \to 2} \frac{\sin xy}{y} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{\frac{u}{2}} = \lim_{u \to 0} 2 \cdot \frac{\sin u}{u} = 2 \cdot 1 = 2 \]