题目

3.[填空题]求矩阵的秩B=}1&2&3&41&0&1&23&-1&-1&01&2&0&-5，则R(B)=

3.[填空题]求矩阵的秩$B=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&0&1&2\\3&-1&-1&0\\1&2&0&-5\end{pmatrix}$，则R(B)=

题目解答

答案

对矩阵 $ B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & -5 \end{pmatrix} $ 进行初等行变换，化为行阶梯形。

  1. 从第2、3、4行减去第1行的倍数，得到：
    $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -2 & -2 & -2 \\ 0 & -7 & -10 & -12 \\ 0 & 0 & -3 & -9 \end{pmatrix}$
  2. 将第2行乘以 $-1/2$，并继续化简，最终得到：
    $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -3 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}$
    非零行数为4，故秩为4。

或
计算行列式：
$\det(B) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & -5 \end{vmatrix} = -24 \neq 0$
行列式非零，秩为4。

答案： $\boxed{4}$

解析

本题考查矩阵秩的求解，解题思路是通过对矩阵进行初等行变换化为行阶梯形矩阵，或者计算矩阵的行列式来确定矩阵的秩。

下面进行详细的计算：

  1. 对矩阵 $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & -5 \end{pmatrix}$ 进行初等行变换：
    • 从第2、3、4行减去第1行的倍数，得到：
      $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -2 & -2 & -2 \\ 0 & -7 & -10 & -12 \\ 0 & 0 & -3 & -9 \end{pmatrix}$
    • 将第2行乘以 $-1/2$，并继续化简，最终得到：
      $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -3 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}$
    • 行阶梯形矩阵中非零行数为4，所以矩阵 $B$ 的秩 $R(B) = 4$。
  2. 计算矩阵 $B$ 的行列式：
    $\det(B) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & -5 \end{vmatrix} = -24 \neq 0$
    • 因为行列式非零，所以矩阵 $B$ 的秩 $R(B) = 4$。