题目
在①bsin((A+B))/(2)=csinB，②sqrt(3)（(ccosA-b)）=-asinC，③(c)/((cosC))=((a+b))/((cosA+cosB))这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_____．（1）求C；（2）若△ABC的面积为8sqrt(3)，AC的中点为D，求BD的最小值．
在①bsin$\frac{{A+B}}{2}$=csinB，②$\sqrt{3}（{ccosA-b}）=-asinC$，③$\frac{c}{{cosC}}=\frac{{a+b}}{{cosA+cosB}}$这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_____．
（1）求C；
（2）若△ABC的面积为8$\sqrt{3}$，AC的中点为D，求BD的最小值．
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_____．
（1）求C；
（2）若△ABC的面积为8$\sqrt{3}$，AC的中点为D，求BD的最小值．
题目解答
答案
解：（1）若选①bsin$\frac{{A+B}}{2}$=csinB，可得bsin（$\frac{π-C}{2}$）=bcos$\frac{C}{2}$=csinB，
由正弦定理可得sinBcos$\frac{C}{2}$=sinCsinB，
又sinB≠0，可得cos$\frac{C}{2}$=sinC=2sin$\frac{C}{2}$cos$\frac{C}{2}$，
因为C∈（0，π），$\frac{C}{2}$∈（0，$\frac{π}{2}$），
可得sin$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{2}$，
可得$\frac{C}{2}$=$\frac{π}{6}$，可得C=$\frac{π}{3}$．
若②$\sqrt{3}（{ccosA-b}）=-asinC$，由正弦定理可得$\sqrt{3}$（sinCcosA-sinB）=-sinAsinC，
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
可得$\sqrt{3}$（sinCcosA-sinAcosC-cosAsinC）=$\sqrt{3}$（-sinAcosC）=-sinAsinC，
又sinA≠0，可得tanC=$\sqrt{3}$，因为C∈（0，π），可得C=$\frac{π}{3}$．
若③因为$\frac{c}{{cosC}}=\frac{{a+b}}{{cosA+cosB}}$，由正弦定理可得$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{sinA+sinB}{cosA+cosB}$，可得sinCcosA+sinCcosB=sinAcosC+sinBcosC，
可得sin（C-A）=sin（B-C），
所以C-A=B-C，或C-A=π-（B-C），不成立，
所以2C=A+B，可得A+B+C=3C=π，可得C=$\frac{π}{3}$，
（2）S△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=8$\sqrt{3}$，又C=$\frac{π}{3}$，
∴ab=32，
在△BCD中，BD2=BC2+CD2−2BC•CD•cosC=a2+（$\frac{1}{2}$b）2−2a•$\frac{1}{2}$b•cosC=a2+$\frac{1}{4}$b2-$\frac{1}{2}$ab≥ab-$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$ab=16，当且仅当a=$\frac{1}{2}$b=4 时取等号，
∴BD的最小值为4．
由正弦定理可得sinBcos$\frac{C}{2}$=sinCsinB，
又sinB≠0，可得cos$\frac{C}{2}$=sinC=2sin$\frac{C}{2}$cos$\frac{C}{2}$，
因为C∈（0，π），$\frac{C}{2}$∈（0，$\frac{π}{2}$），
可得sin$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{2}$，
可得$\frac{C}{2}$=$\frac{π}{6}$，可得C=$\frac{π}{3}$．
若②$\sqrt{3}（{ccosA-b}）=-asinC$，由正弦定理可得$\sqrt{3}$（sinCcosA-sinB）=-sinAsinC，
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
可得$\sqrt{3}$（sinCcosA-sinAcosC-cosAsinC）=$\sqrt{3}$（-sinAcosC）=-sinAsinC，
又sinA≠0，可得tanC=$\sqrt{3}$，因为C∈（0，π），可得C=$\frac{π}{3}$．
若③因为$\frac{c}{{cosC}}=\frac{{a+b}}{{cosA+cosB}}$，由正弦定理可得$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{sinA+sinB}{cosA+cosB}$，可得sinCcosA+sinCcosB=sinAcosC+sinBcosC，
可得sin（C-A）=sin（B-C），
所以C-A=B-C，或C-A=π-（B-C），不成立，
所以2C=A+B，可得A+B+C=3C=π，可得C=$\frac{π}{3}$，
（2）S△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=8$\sqrt{3}$，又C=$\frac{π}{3}$，
∴ab=32，
在△BCD中，BD2=BC2+CD2−2BC•CD•cosC=a2+（$\frac{1}{2}$b）2−2a•$\frac{1}{2}$b•cosC=a2+$\frac{1}{4}$b2-$\frac{1}{2}$ab≥ab-$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$ab=16，当且仅当a=$\frac{1}{2}$b=4 时取等号，
∴BD的最小值为4．
解析
步骤 1：选择条件①bsin$\frac{{A+B}}{2}$=csinB
根据正弦定理，将条件①转换为三角函数关系。
步骤 2：利用正弦定理和三角恒等变换求解C
将条件①中的三角函数关系转换为关于角C的方程，求解C。
步骤 3：利用面积公式和中点性质求解BD的最小值
根据△ABC的面积和AC的中点D，利用面积公式和中点性质求解BD的最小值。
【答案】
（1）C=$\frac{π}{3}$。
（2）BD的最小值为4。
【解析】
步骤 1：选择条件①bsin$\frac{{A+B}}{2}$=csinB
根据正弦定理，将条件①转换为三角函数关系。
由正弦定理，有$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，代入条件①，得bsin$\frac{{A+B}}{2}$=csinB，即bsin$\frac{{A+B}}{2}$=bsinC，即sin$\frac{{A+B}}{2}$=sinC。
步骤 2：利用正弦定理和三角恒等变换求解C
将条件①中的三角函数关系转换为关于角C的方程，求解C。
由sin$\frac{{A+B}}{2}$=sinC，得sin$\frac{{π-C}}{2}$=sinC，即cos$\frac{C}{2}$=sinC，即cos$\frac{C}{2}$=2sin$\frac{C}{2}$cos$\frac{C}{2}$，即sin$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{2}$，得$\frac{C}{2}$=$\frac{π}{6}$，即C=$\frac{π}{3}$。
步骤 3：利用面积公式和中点性质求解BD的最小值
根据△ABC的面积和AC的中点D，利用面积公式和中点性质求解BD的最小值。
由S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=8$\sqrt{3}$，得ab=32。在△BCD中，BD^{2}=BC^{2}+CD^{2}−2BC•CD•cosC=a^{2}+（$\frac{1}{2}$b）^{2}−2a•$\frac{1}{2}$b•cosC=a^{2}+$\frac{1}{4}$b^{2}-$\frac{1}{2}$ab≥ab-$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$ab=16，当且仅当a=$\frac{1}{2}$b=4 时取等号，即BD的最小值为4。
根据正弦定理，将条件①转换为三角函数关系。
步骤 2：利用正弦定理和三角恒等变换求解C
将条件①中的三角函数关系转换为关于角C的方程，求解C。
步骤 3：利用面积公式和中点性质求解BD的最小值
根据△ABC的面积和AC的中点D，利用面积公式和中点性质求解BD的最小值。
【答案】
（1）C=$\frac{π}{3}$。
（2）BD的最小值为4。
【解析】
步骤 1：选择条件①bsin$\frac{{A+B}}{2}$=csinB
根据正弦定理，将条件①转换为三角函数关系。
由正弦定理，有$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，代入条件①，得bsin$\frac{{A+B}}{2}$=csinB，即bsin$\frac{{A+B}}{2}$=bsinC，即sin$\frac{{A+B}}{2}$=sinC。
步骤 2：利用正弦定理和三角恒等变换求解C
将条件①中的三角函数关系转换为关于角C的方程，求解C。
由sin$\frac{{A+B}}{2}$=sinC，得sin$\frac{{π-C}}{2}$=sinC，即cos$\frac{C}{2}$=sinC，即cos$\frac{C}{2}$=2sin$\frac{C}{2}$cos$\frac{C}{2}$，即sin$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{2}$，得$\frac{C}{2}$=$\frac{π}{6}$，即C=$\frac{π}{3}$。
步骤 3：利用面积公式和中点性质求解BD的最小值
根据△ABC的面积和AC的中点D，利用面积公式和中点性质求解BD的最小值。
由S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=8$\sqrt{3}$，得ab=32。在△BCD中，BD^{2}=BC^{2}+CD^{2}−2BC•CD•cosC=a^{2}+（$\frac{1}{2}$b）^{2}−2a•$\frac{1}{2}$b•cosC=a^{2}+$\frac{1}{4}$b^{2}-$\frac{1}{2}$ab≥ab-$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$ab=16，当且仅当a=$\frac{1}{2}$b=4 时取等号，即BD的最小值为4。