3.设A= (} -5& 3& 1 2& -1& 1 ) .-|||-(1)求可逆矩阵P,使PA为行最简形矩阵;-|||-(2)求一个可逆矩阵Q,使QA^T为行最简形矩阵.

步骤 1：求PA为行最简形矩阵的可逆矩阵P
首先，我们需要将矩阵A通过行变换转化为行最简形矩阵。矩阵A为：
$$
A = \left (\begin{matrix} -5& 3& 1\\ 2& -1& 1\end{matrix} ) \right.
$$
我们可以通过行变换将A转化为行最简形矩阵。行变换包括：交换两行，将某一行乘以非零常数，将某一行加上另一行的倍数。我们首先将第一行乘以-2/5，然后将第二行加上第一行，得到：
$$
\left (\begin{matrix} 1& -3/5& -1/5\\ 0& 1/5& 3/5\end{matrix} ) \right.
$$
接下来，将第二行乘以5，然后将第一行加上第二行的3倍，得到：
$$
\left (\begin{matrix} 1& 0& 2\\ 0& 1& 3\end{matrix} ) \right.
$$
这是矩阵A的行最简形。为了得到可逆矩阵P，我们需要记录上述行变换的过程。首先，将第一行乘以-2/5，然后将第二行加上第一行，得到：
$$
P_1 = \left (\begin{matrix} -2/5& 0\\ 1& 1\end{matrix} ) \right.
$$
接下来，将第二行乘以5，然后将第一行加上第二行的3倍，得到：
$$
P_2 = \left (\begin{matrix} 1& 3\\ 0& 5\end{matrix} ) \right.
$$
因此，可逆矩阵P为：
$$
P = P_2P_1 = \left (\begin{matrix} 1& 3\\ 0& 5\end{matrix} ) \right. \left (\begin{matrix} -2/5& 0\\ 1& 1\end{matrix} ) \right. = \left (\begin{matrix} 1& 3\\ -2& 5\end{matrix} ) \right.
$$
步骤 2：求QA^T为行最简形矩阵的可逆矩阵Q
首先，我们需要计算矩阵A的转置A^T。矩阵A为：
$$
A = \left (\begin{matrix} -5& 3& 1\\ 2& -1& 1\end{matrix} ) \right.
$$
因此，A^T为：
$$
A^T = \left (\begin{matrix} -5& 2\\ 3& -1\\ 1& 1\end{matrix} ) \right.
$$
接下来，我们需要将矩阵A^T通过行变换转化为行最简形矩阵。我们首先将第一行乘以-1/5，然后将第二行加上第一行的3倍，得到：
$$
\left (\begin{matrix} 1& -2/5\\ 0& 1/5\\ 0& 7/5\end{matrix} ) \right.
$$
接下来，将第二行乘以5，然后将第一行加上第二行的2倍，得到：
$$
\left (\begin{matrix} 1& 0\\ 0& 1\\ 0& 7\end{matrix} ) \right.
$$
这是矩阵A^T的行最简形。为了得到可逆矩阵Q，我们需要记录上述行变换的过程。首先，将第一行乘以-1/5，然后将第二行加上第一行的3倍，得到：
$$
Q_1 = \left (\begin{matrix} -1/5& 0& 0\\ 3& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right.
$$
接下来，将第二行乘以5，然后将第一行加上第二行的2倍，得到：
$$
Q_2 = \left (\begin{matrix} 1& 2& 0\\ 0& 5& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right.
$$
因此，可逆矩阵Q为：
$$
Q = Q_2Q_1 = \left (\begin{matrix} 1& 2& 0\\ 0& 5& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right. \left (\begin{matrix} -1/5& 0& 0\\ 3& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right. = \left (\begin{matrix} 1& 2& 0\\ -3& 5& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right.
$$