题目
14.今有甲、乙两名射手轮流对同一目标进行射击,甲命中的概率为p1,乙命中的概率为p2.-|||-甲先射,谁先命中谁得胜,分别求甲、乙两人获胜的概率.
题目解答
答案
解:令A,B分别表示"甲获胜",乙获胜",$$A_{1}$$ $$B_{1}(i=1,2,\cdot \cdot \cdot )$$分别表示"甲第i次射击命中""乙第i次射击命中",则有 $$A=A_{1}$$$$\cup \overrightarrow {A_{1}B_{1}}A_{2} \cup \overrightarrow {B_{1}A_{2}B_{2}$$ $$B=\bar {A_{1}}B_{1}$$$$\cup \overrightarrow {A_{1}B_{1}A_{2}}B_{2}\cup \overrightarrow {A_{1}B_{1}A_{$$ 因而 $$P(A)=P(A_{1})+P( , )+P( BA_{1}B_{2})$$ $$=P(A_{1})+P(A_{1})P(B_{1})P(A_{2})+$$$$P(A_{1})P(B_{1})P(A_{2})P$$ $$+\cdot \cdot \cdot $$ $$=p_{1}+(1-p_{1})(1-p_{2})p_{1}+(1$$$$p_{1})^{2}$$ $$(1-p_{2})^{3}p_{1}+\cdot \cdot \cdot $$ $$=\frac{p_{1}}{1-(1-p_{1})(1-p_{2})}$$$$\frac{p_{1}}{p_{1}+p_{2}-p_{1}p_{2}}$$ ,因为A与B互为逆事件,所以
解析
步骤 1：定义事件
定义事件A为“甲获胜”，事件B为“乙获胜”。定义事件$$A_{i}$$为“甲第i次射击命中”，事件$$B_{i}$$为“乙第i次射击命中”。
步骤 2：计算甲获胜的概率
甲获胜的情况包括：甲第一次射击命中，或者甲第一次未命中而乙第一次也未命中，然后甲第二次射击命中，以此类推。因此，甲获胜的概率可以表示为：
$$P(A)=P(A_{1})+P(\overline{A_{1}}\overline{B_{1}}A_{2})+P(\overline{A_{1}}\overline{B_{1}}\overline{A_{2}}\overline{B_{2}}A_{3})+\cdots$$
$$=p_{1}+(1-p_{1})(1-p_{2})p_{1}+(1-p_{1})^{2}(1-p_{2})^{2}p_{1}+\cdots$$
这是一个无穷等比数列求和问题，其中首项为$$p_{1}$$，公比为$$(1-p_{1})(1-p_{2})$$，因此甲获胜的概率为：
$$P(A)=\frac{p_{1}}{1-(1-p_{1})(1-p_{2})}=\frac{p_{1}}{p_{1}+p_{2}-p_{1}p_{2}}$$
步骤 3：计算乙获胜的概率
由于甲和乙获胜是互斥事件，且甲乙两人中必有一人获胜，因此乙获胜的概率为：
$$P(B)=1-P(A)=1-\frac{p_{1}}{p_{1}+p_{2}-p_{1}p_{2}}=\frac{(1-p_{1})p_{2}}{p_{1}+p_{2}-p_{1}p_{2}}$$
定义事件A为“甲获胜”，事件B为“乙获胜”。定义事件$$A_{i}$$为“甲第i次射击命中”，事件$$B_{i}$$为“乙第i次射击命中”。
步骤 2：计算甲获胜的概率
甲获胜的情况包括：甲第一次射击命中，或者甲第一次未命中而乙第一次也未命中，然后甲第二次射击命中，以此类推。因此，甲获胜的概率可以表示为：
$$P(A)=P(A_{1})+P(\overline{A_{1}}\overline{B_{1}}A_{2})+P(\overline{A_{1}}\overline{B_{1}}\overline{A_{2}}\overline{B_{2}}A_{3})+\cdots$$
$$=p_{1}+(1-p_{1})(1-p_{2})p_{1}+(1-p_{1})^{2}(1-p_{2})^{2}p_{1}+\cdots$$
这是一个无穷等比数列求和问题，其中首项为$$p_{1}$$，公比为$$(1-p_{1})(1-p_{2})$$，因此甲获胜的概率为：
$$P(A)=\frac{p_{1}}{1-(1-p_{1})(1-p_{2})}=\frac{p_{1}}{p_{1}+p_{2}-p_{1}p_{2}}$$
步骤 3：计算乙获胜的概率
由于甲和乙获胜是互斥事件，且甲乙两人中必有一人获胜，因此乙获胜的概率为：
$$P(B)=1-P(A)=1-\frac{p_{1}}{p_{1}+p_{2}-p_{1}p_{2}}=\frac{(1-p_{1})p_{2}}{p_{1}+p_{2}-p_{1}p_{2}}$$