一根电缆由实心柱状金属芯(相对磁导率r1=1)和外包的同轴薄壁金属圆筒构成,芯和壁之间充满相对磁导率为r2>1的绝缘材料(均匀且各向同性),其内外半径分别为R1和R2,设芯柱上的电流在芯的载面上均匀分布。当圆筒上的电流均匀分布在薄壁上,求:(1) 当电流为I时,单位长电缆内储存的磁能。μr2 μ11 R2-|||-计算题10图(2) 电缆单位长的自感系数。

步骤 1：确定磁感应强度分布
根据安培环路定理，可以确定电缆内部不同区域的磁感应强度分布。对于实心柱状金属芯，磁感应强度为：
${B}_{1}=\dfrac {{\mu }_{1}Ir}{2\pi {{R}_{1}}^{2}}$ $0\leqslant r\leqslant {R}_{1}$
对于绝缘材料区域，磁感应强度为：
${B}_{2}=\dfrac {{\mu }_{2}I}{2\pi r}$ ${R}_{1}\leqslant r\lt {R}_{2}$
对于薄壁金属圆筒外部，磁感应强度为零。

步骤 2：计算单位长度电缆内储存的磁能
单位长度电缆内储存的磁能可以通过积分磁能密度来计算。磁能密度为$w=\dfrac {1}{2}\mu H^2$，其中$H$为磁场强度，$\mu$为磁导率。对于实心柱状金属芯，磁能密度为：
${w}_{1}=\dfrac {1}{2}{\mu }_{1}H_{1}^{2}$
对于绝缘材料区域，磁能密度为：
${w}_{2}=\dfrac {1}{2}{\mu }_{2}H_{2}^{2}$
将磁感应强度代入，得到单位长度电缆内储存的磁能为：
$W=\int_{0}^{R_{1}}{w}_{1}2\pi rdr+\int_{R_{1}}^{R_{2}}{w}_{2}2\pi rdr$
$=[ \dfrac {{\mu }_{0}}{16\pi }+\dfrac {{\mu }_{2}}{4\pi }\ln (\dfrac {{R}_{2}}{{R}_{1}})] {T}^{2}$

步骤 3：计算电缆单位长的自感系数
电缆单位长的自感系数可以通过单位长度电缆内储存的磁能与电流的平方比值来计算。即：
$l=\dfrac {2W}{I^2}$
代入单位长度电缆内储存的磁能，得到电缆单位长的自感系数为：
$l=\dfrac {{U}_{0}}{8\pi }+\dfrac {{U}_{2}}{2\pi }\ln (\dfrac {{R}_{2}}{{R}_{1}})$