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数学
题目

设函数y=y(x)由方程exy=x-y所确定,求dy|x=0.

设函数y=y(x)由方程e xy=x-y所确定,求dy| x=0.

题目解答

答案

由方程e xy=x-y可得,当x=0时,
e 0 =0-y(0),
故y(0)=-e 0 =-1.
由方程e xy=x-y两边对x求导可得,
e xy(xy′(x)+y(x))=1-y′(x).
代入x=0,y(0)=-1可得,
y(0)=1-y′(0).
从而,y′(0)=1-y(0)=2.
因此,dy| x=0=y′(0)dx=2dx.

解析

考查要点:本题主要考查隐函数求导法及微分的计算,需要学生掌握隐函数求导的基本步骤,并能正确代入特定点求解导数值。

解题核心思路:

  1. 确定隐函数在特定点的函数值:将$x=0$代入原方程,解出对应的$y(0)$。
  2. 对原方程两边关于$x$求导:利用链式法则和乘积法则,得到关于$y'$的方程。
  3. 代入已知点求导数值:将$x=0$和$y(0)$代入导数表达式,解出$y'(0)$。
  4. 计算微分:根据微分公式$dy = y'(0)dx$,写出最终结果。

破题关键点:

  • 隐函数求导时的链式法则应用,特别是处理$e^{xy}$的导数。
  • 代入$x=0$时的简化计算,注意此时$xy$项可能为零,简化方程。

步骤1:求$x=0$时的$y(0)$

将$x=0$代入原方程$e^{xy}=x-y$:
$e^{0 \cdot y(0)} = 0 - y(0) \implies e^0 = -y(0) \implies y(0) = -1.$

步骤2:对原方程两边关于$x$求导

对$e^{xy} = x - y$两边求导:

  • 左边:使用链式法则和乘积法则:
    $\frac{d}{dx} e^{xy} = e^{xy} \cdot \left( y + x \frac{dy}{dx} \right).$
  • 右边:直接求导:
    $\frac{d}{dx} (x - y) = 1 - \frac{dy}{dx}.$
    因此得到方程:
    $e^{xy} \left( y + x y' \right) = 1 - y'.$

步骤3:代入$x=0$和$y(0)=-1$求$y'(0)$

将$x=0$、$y=-1$代入方程:
$e^{0 \cdot (-1)} \left( -1 + 0 \cdot y' \right) = 1 - y' \implies 1 \cdot (-1) = 1 - y' \implies y' = 2.$

步骤4:计算微分$dy|_{x=0}$

根据微分公式:
$dy|_{x=0} = y'(0) \, dx = 2 \, dx.$

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