题目
.-10 8kg气体在塑性容器内从1MPa、1 m^3膨胀到0.5MP a。过程中气体热力学能-|||-的变化量为 -40kJ/kg ,(v)^1.2= 定值,试求气体与外界交换的热量。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定终态体积
根据给定的状态方程 $p{v}^{1.2}=$ 定值，可以得到终态体积 ${V}_{2}$。由于初态压力 ${P}_{1}=1MPa$，初态体积 ${V}_{1}=1m^3$，终态压力 ${P}_{2}=0.5MPa$，代入状态方程得到：
${V}_{2}={V}_{1}{(\dfrac {{P}_{1}}{{P}_{2}})}^{{V}_{2}}=1\times {(\dfrac {1}{0.5})}^{{V}_{2}}=1.78{m}^{3}$
步骤 2：计算过程中的功
根据给定的膨胀过程，计算系统对外所作的功 $W$。由于过程中的压力和体积关系为 $p{v}^{1.2}=$ 定值，可以得到：
$W = \int_{V_1}^{V_2} pdv = \int_{V_1}^{V_2} \frac{P_1V_1^{1.2}}{V^{1.2}} dv = P_1V_1^{1.2} \int_{V_1}^{V_2} V^{-1.2} dv$
$= P_1V_1^{1.2} \left[ \frac{V^{-0.2}}{-0.2} \right]_{V_1}^{V_2} = -\frac{P_1V_1^{1.2}}{0.2} \left[ V_2^{-0.2} - V_1^{-0.2} \right]$
$= -\frac{1 \times 1^{1.2}}{0.2} \left[ 1.78^{-0.2} - 1^{-0.2} \right] = 544.6 kJ$
步骤 3：计算系统与外界交换的热量
根据热力学第一定律，系统与外界交换的热量 $Q$ 可以通过系统热力学能的变化量 $\Delta U$ 和系统对外所作的功 $W$ 来计算。由于系统热力学能的变化量为 -40kJ/kg，系统质量为 8kg，可以得到：
$Q = \Delta U + W = -40 \times 8 + 544.6 = 504.6 kJ$
根据给定的状态方程 $p{v}^{1.2}=$ 定值，可以得到终态体积 ${V}_{2}$。由于初态压力 ${P}_{1}=1MPa$，初态体积 ${V}_{1}=1m^3$，终态压力 ${P}_{2}=0.5MPa$，代入状态方程得到：
${V}_{2}={V}_{1}{(\dfrac {{P}_{1}}{{P}_{2}})}^{{V}_{2}}=1\times {(\dfrac {1}{0.5})}^{{V}_{2}}=1.78{m}^{3}$
步骤 2：计算过程中的功
根据给定的膨胀过程，计算系统对外所作的功 $W$。由于过程中的压力和体积关系为 $p{v}^{1.2}=$ 定值，可以得到：
$W = \int_{V_1}^{V_2} pdv = \int_{V_1}^{V_2} \frac{P_1V_1^{1.2}}{V^{1.2}} dv = P_1V_1^{1.2} \int_{V_1}^{V_2} V^{-1.2} dv$
$= P_1V_1^{1.2} \left[ \frac{V^{-0.2}}{-0.2} \right]_{V_1}^{V_2} = -\frac{P_1V_1^{1.2}}{0.2} \left[ V_2^{-0.2} - V_1^{-0.2} \right]$
$= -\frac{1 \times 1^{1.2}}{0.2} \left[ 1.78^{-0.2} - 1^{-0.2} \right] = 544.6 kJ$
步骤 3：计算系统与外界交换的热量
根据热力学第一定律，系统与外界交换的热量 $Q$ 可以通过系统热力学能的变化量 $\Delta U$ 和系统对外所作的功 $W$ 来计算。由于系统热力学能的变化量为 -40kJ/kg，系统质量为 8kg，可以得到：
$Q = \Delta U + W = -40 \times 8 + 544.6 = 504.6 kJ$