题目

1、int_(-pi)^pix(x^2+5cos x+3)=_

1、$\int_{-\pi}^{\pi}x(x^{2}+5\cos x+3)=\_$

题目解答

答案

将被积函数展开得： \[ \int_{-\pi}^{\pi} x(x^2 + 5\cos x + 3) \, dx = \int_{-\pi}^{\pi} (x^3 + 5x\cos x + 3x) \, dx. \] 分别计算各部分积分： 1. $\int_{-\pi}^{\pi} x^3 \, dx = 0$（奇函数在对称区间积分值为0）； 2. $\int_{-\pi}^{\pi} 5x\cos x \, dx = 0$（奇函数在对称区间积分值为0）； 3. $\int_{-\pi}^{\pi} 3x \, dx = 0$（奇函数在对称区间积分值为0）。 或直接观察被积函数 $x(x^2 + 5\cos x + 3)$ 为奇函数，故积分值为0。 **答案：** $\boxed{0}$

解析

考查要点：本题主要考查定积分的对称性性质，特别是奇函数在对称区间上的积分性质。

解题核心思路：

  1. 展开被积函数，观察其奇偶性。
  2. 利用奇函数在对称区间$[-a, a]$上的积分值为0的性质，直接得出结果，避免逐项计算。

破题关键点：

  • 识别被积函数为奇函数：展开后发现每一项均为奇函数，整体为奇函数。
  • 直接应用对称区间积分性质，无需分步计算。

将被积函数展开：
$\int_{-\pi}^{\pi} x(x^2 + 5\cos x + 3) \, dx = \int_{-\pi}^{\pi} (x^3 + 5x\cos x + 3x) \, dx.$

分析各部分奇偶性：

  1. $x^3$：奇函数，$\int_{-\pi}^{\pi} x^3 \, dx = 0$。
  2. $5x\cos x$：$x$是奇函数，$\cos x$是偶函数，乘积为奇函数，$\int_{-\pi}^{\pi} 5x\cos x \, dx = 0$。
  3. $3x$：奇函数，$\int_{-\pi}^{\pi} 3x \, dx = 0$。

结论：
所有项均为奇函数，积分区间$[-\pi, \pi]$对称，故总积分为$0$。