题目
(5)已知10部手机中有7个合格品和3个次品，每次任取一个作测试，测试后不放回，直到将3个次品都找到为止，则需要测试7次的概率为______.
(5)已知10部手机中有7个合格品和3个次品，每次任取一个作测试，测试后不放回，直到将3个次品都找到为止，则需要测试7次的概率为______.
题目解答
答案
要计算需要测试7次的概率，即前6次测试中包含2个次品和4个合格品，第7次测试找到最后一个次品。
1. **组合选择**：
- 前6次中选2个次品：$C_3^2$
- 前6次中选4个合格品：$C_7^4$
2. **排列方式**：
- 前6次的排列：$A_6^6$
- 第7次为最后一个次品：1种
3. **总排列**：
- 10个手机中选7个的排列：$A_{10}^7$
4. **概率计算**：
\[
P = \frac{C_3^2 \times C_7^4 \times A_6^6}{A_{10}^7} = \frac{3 \times 35 \times 720}{\frac{10!}{3!}} = \frac{75600 \times 6}{3628800} = \frac{1}{8}
\]
**答案**：$\boxed{\frac{1}{8}}$
解析
考查要点：本题主要考查排列组合和条件概率的应用，重点在于理解“恰好在第7次测试时找到最后一个次品”的条件限制。
解题核心思路：
- 明确关键条件：需要测试7次意味着前6次恰好找到2个次品，第7次必然找到最后一个次品。
- 分步计算组合数：
- 前6次选2个次品：从3个次品中选2个，组合数为$C_3^2$。
- 前6次选4个合格品：从7个合格品中选4个，组合数为$C_7^4$。
- 排列方式：前6个位置的排列方式为$A_6^6$，第7次固定为最后一个次品。
- 计算概率：将有利事件数除以总事件数（从10个中选7个排列）。
破题关键点：
- 前6次必须恰好包含2个次品，否则无法在第7次结束测试。
- 总事件数为排列数$A_{10}^7$，而非组合数，因为测试顺序影响结果。
步骤1：确定有利事件数
- 选择次品：从3个次品中选2个放在前6次，组合数为$C_3^2 = 3$。
- 选择合格品：从7个合格品中选4个放在前6次，组合数为$C_7^4 = 35$。
- 排列前6次：6个物品（2次品+4合格品）的排列方式为$A_6^6 = 720$。
- 固定第7次：最后一个次品的位置唯一，方式为1种。
有利事件总数：
$3 \times 35 \times 720 \times 1 = 75600.$
步骤2：计算总事件数
从10个手机中选7个进行排列，总事件数为：
$A_{10}^7 = \frac{10!}{3!} = 3628800.$
步骤3：计算概率
概率为有利事件数除以总事件数：
$P = \frac{75600}{3628800} = \frac{1}{8}.$