题目
(5)y''-2y'+5y=e^xsin2x;
(5)$y''-2y'+5y=e^{x}\sin2x;$
题目解答
答案
1. **求齐次方程通解**
特征方程为 $r^2 - 2r + 5 = 0$，解得 $r = 1 \pm 2i$。
齐次方程通解为：
\[
y_h = e^x (C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x)
\]
2. **设特解形式**
非齐次项为 $e^x \sin 2x$，由于 $1 + 2i$ 是特征根，特解设为：
\[
y_p = x e^x (A \cos 2x + B \sin 2x)
\]
3. **确定系数**
代入原方程求得 $A = -\frac{1}{4}$，$B = 0$。
4. **通解**
非齐次方程通解为齐次解与特解之和：
\[
\boxed{y = e^x (C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x) - \frac{1}{4} x e^x \cos 2x}
\]
解析
步骤 1：求齐次方程通解
特征方程为 $r^2 - 2r + 5 = 0$，解得 $r = 1 \pm 2i$。因此，齐次方程的通解为：\[ y_h = e^x (C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x) \]
步骤 2：设特解形式
非齐次项为 $e^x \sin 2x$，由于 $1 + 2i$ 是特征根，特解设为：\[ y_p = x e^x (A \cos 2x + B \sin 2x) \]
步骤 3：确定系数
将特解形式代入原方程，通过比较系数求得 $A = -\frac{1}{4}$，$B = 0$。
步骤 4：通解
非齐次方程的通解为齐次解与特解之和：\[ y = e^x (C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x) - \frac{1}{4} x e^x \cos 2x \]
特征方程为 $r^2 - 2r + 5 = 0$，解得 $r = 1 \pm 2i$。因此，齐次方程的通解为：\[ y_h = e^x (C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x) \]
步骤 2：设特解形式
非齐次项为 $e^x \sin 2x$，由于 $1 + 2i$ 是特征根，特解设为：\[ y_p = x e^x (A \cos 2x + B \sin 2x) \]
步骤 3：确定系数
将特解形式代入原方程，通过比较系数求得 $A = -\frac{1}{4}$，$B = 0$。
步骤 4：通解
非齐次方程的通解为齐次解与特解之和：\[ y = e^x (C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x) - \frac{1}{4} x e^x \cos 2x \]