题目
1.求下列幂级数的收敛区间:-|||-(4) dfrac (x)(1cdot 3)+dfrac ({x)^2}(2cdot {3)^2}+dfrac ({x)^3}(3cdot {3)^3}+... +dfrac ({x)^n}(ncdot {3)^n}+... ;
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定幂级数的一般项
幂级数的一般项为 $\dfrac{{x}^{n}}{n\cdot {3}^{n}}$，其中 $n$ 为正整数。
步骤 2：应用比值判别法
为了确定幂级数的收敛区间，我们应用比值判别法。比值判别法的公式为 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {|{a}_{n+1}|}{|{a}_{n}|}$，其中 ${a}_{n}$ 是幂级数的一般项。
将幂级数的一般项代入比值判别法的公式中，得到 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {|{a}_{n+1}|}{|{a}_{n}|}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {|\dfrac{{x}^{n+1}}{(n+1)\cdot {3}^{n+1}}|}{|\dfrac{{x}^{n}}{n\cdot {3}^{n}}|}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{3}\cdot \dfrac {n}{n+1}$。
步骤 3：计算极限
计算极限 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{3}\cdot \dfrac {n}{n+1}$，得到 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{3}\cdot \dfrac {n}{n+1}=\dfrac {1}{3}$。因此，幂级数的收敛半径为3。
步骤 4：确定收敛区间
由于幂级数的收敛半径为3，所以收敛区间为 (-3,3)。
幂级数的一般项为 $\dfrac{{x}^{n}}{n\cdot {3}^{n}}$，其中 $n$ 为正整数。
步骤 2：应用比值判别法
为了确定幂级数的收敛区间，我们应用比值判别法。比值判别法的公式为 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {|{a}_{n+1}|}{|{a}_{n}|}$，其中 ${a}_{n}$ 是幂级数的一般项。
将幂级数的一般项代入比值判别法的公式中，得到 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {|{a}_{n+1}|}{|{a}_{n}|}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {|\dfrac{{x}^{n+1}}{(n+1)\cdot {3}^{n+1}}|}{|\dfrac{{x}^{n}}{n\cdot {3}^{n}}|}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{3}\cdot \dfrac {n}{n+1}$。
步骤 3：计算极限
计算极限 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{3}\cdot \dfrac {n}{n+1}$，得到 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{3}\cdot \dfrac {n}{n+1}=\dfrac {1}{3}$。因此，幂级数的收敛半径为3。
步骤 4：确定收敛区间
由于幂级数的收敛半径为3，所以收敛区间为 (-3,3)。