题目
3.计算曲面积分iintlimits_(Sigma)2zdydz-2ydzdx+(5z-z^2)dxdy，其中Sigma为曲线{}z=e^y,x=0.(1leqslant yleqslant 2)绕z轴旋转一周所成的曲面的外侧.
3.计算曲面积分
$\iint\limits_{\Sigma}2zdydz-2ydzdx+(5z-z^{2})dxdy$，
其中$\Sigma$为曲线$\left\{\begin{matrix}z=e^{y},\\x=0\end{matrix}\right.(1\leqslant y\leqslant 2)$绕z轴旋转一周所成的曲面的外侧.
题目解答
答案
将曲面 $\Sigma$ 补上平面 $z = e$ 和 $z = e^2$ 形成闭合曲面，应用高斯公式。
计算闭合曲面的三重积分：
\[
\iiint\limits_{V} (3 - 2z) \, dv = \int_{e}^{e^2} \int_{0}^{2\pi} \int_{1}^{\ln z} (3 - 2z) r \, dr \, d\theta \, dz.
\]
计算结果为 $4\pi e (e^3 - 1)$。
平面 $z = e^2$ 和 $z = e$ 的曲面积分分别为 $4\pi (5e^2 - e^4)$ 和 $-\pi (5e - e^2)$。
最终曲面积分为：
\[
\boxed{4\pi e (e^3 - 1)}.
\]