题目

设X与Y相互独立，下表给出了二维随机变量((X)^6X)的联合概率分布与边缘分布中的部分数值((X)^6X)，则((X)^6X)_____；((X)^6X)______；((X)^6X)______；((X)^6X)______。（答案用小数表示）

设X与Y相互独立，下表给出了二维随机变量的联合概率分布与边缘分布中的部分数值，则_____；______；

______；

______。

（答案用小数表示）

题目解答

答案

X与Y相互独立，则联合概率等于边缘概率的乘积，则，，，则，.

解析

考查要点：本题主要考查二维随机变量的独立性及其联合概率分布与边缘分布的关系。关键在于利用独立性条件，即联合概率等于边缘概率的乘积，结合已知数据求解未知概率。

解题思路：

  1. 利用已知联合概率和边缘概率求出X的边缘概率；
  2. 通过X的边缘概率之和为1求出X的另一取值概率；
  3. 利用已知联合概率和X的边缘概率求出Y的边缘概率；
  4. 通过Y的边缘概率之和为1求出Y的另一取值概率；
  5. 根据独立性计算所需联合概率；
  6. 通过边缘概率减法求出剩余联合概率。

步骤1：求P(X=1)

根据独立性，联合概率$P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1)$，代入已知数据：
$P(X=1) = \frac{P(X=1,Y=1)}{P(Y=1)} = \frac{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{1}{3}} = \frac{3}{4} = 0.75$

步骤2：求P(X=2)

X的边缘概率之和为1：
$P(X=2) = 1 - P(X=1) = 1 - 0.75 = 0.25$

步骤3：求P(Y=2)

根据独立性，联合概率$P(X=2,Y=2)=P(X=2)P(Y=2)$，代入已知数据：
$P(Y=2) = \frac{P(X=2,Y=2)}{P(X=2)} = \frac{\dfrac{1}{8}}{0.25} = 0.5$

步骤4：求P(Y=3)

Y的边缘概率之和为1：
$P(Y=3) = 1 - P(Y=1) - P(Y=2) = 1 - \dfrac{1}{3} - 0.5 = \dfrac{1}{6} \approx 0.1667$

步骤5：求P(X=1,Y=2)

根据独立性：
$P(X=1,Y=2) = P(X=1)P(Y=2) = 0.75 \times 0.5 = 0.375$

步骤6：求P(X=1,Y=3)

通过X=1的边缘概率减法：
$P(X=1,Y=3) = P(X=1) - P(X=1,Y=1) - P(X=1,Y=2) = 0.75 - \dfrac{1}{4} - 0.375 = 0.125$