1.3.3 一质点沿x轴做直线运动,t时刻的坐-|||-标为 =4.5(t)^2-2(t)^3(SI). 试求:(1)第2s内的平均-|||-速度;(2)第2s末的瞬时速度;(3)第2s内的-|||-路程.

考查要点：本题主要考查质点直线运动中的平均速度、瞬时速度及路程的计算，涉及导数的应用和分段积分思想。

解题思路：

1. 平均速度：根据位移变化量与时间间隔的比值计算，需明确时间区间为第2秒内（t=1到t=2）。
2. 瞬时速度：对位置函数求导得速度函数，代入t=2即可。
3. 路程：需判断质点是否改变运动方向。通过求速度为零的时间点分段计算，取各段位移绝对值之和。

关键点：

• 平均速度≠速度的平均值，必须用位移差计算。
• 速度为零的时刻是分段计算路程的临界点。

第（1）题：第2秒内的平均速度

计算t=1和t=2时的位移

• t=1秒：
  $x(1) = 4.5 \times 1^2 - 2 \times 1^3 = 2.5 \, \text{m}$
• t=2秒：
  $x(2) = 4.5 \times 2^2 - 2 \times 2^3 = 2 \, \text{m}$

计算平均速度

$v_{\text{avg}} = \frac{x(2) - x(1)}{2 - 1} = \frac{2 - 2.5}{1} = -0.5 \, \text{m/s}$

第（2）题：第2秒末的瞬时速度

求速度函数

对位置函数求导：
$v(t) = \frac{\text{d}x}{\text{d}t} = 9t - 6t^2$

代入t=2秒

$v(2) = 9 \times 2 - 6 \times 2^2 = -6 \, \text{m/s}$

第（3）题：第2秒内的路程

找速度为零的时刻

解方程$v(t) = 0$：
$9t - 6t^2 = 0 \implies t = 0 \, \text{或} \, t = 1.5 \, \text{秒}$
关键分段点：t=1.5秒（在第2秒内）。

分段计算路程

1. t=1到t=1.5秒：
   $x(1.5) = 4.5 \times 1.5^2 - 2 \times 1.5^3 = 3.375 \, \text{m}$
   路程：$|3.375 - 2.5| = 0.875 \, \text{m}$

2. t=1.5到t=2秒：
   $x(2) - x(1.5) = 2 - 3.375 = -1.375 \, \text{m}$
   路程：$|-1.375| = 1.375 \, \text{m}$

总路程

$0.875 + 1.375 = 2.25 \, \text{m}$