题目
7.（单选题，5.0分） 设齐次线性方程组AX=0有非零解，A=(}1&2&32&t&1-1&3&2-2&1&-1)，则t=（）A. 0B. 2C. -1D. -2
7.（单选题，5.0分） 设齐次线性方程组$AX=0$有非零解，$A=\left(\begin{matrix}1&2&3\\2&t&1\\-1&3&2\\-2&1&-1\end{matrix}\right)$，则t=（）
A. 0
B. 2
C. -1
D. -2
题目解答
答案
C. -1
解析
步骤 1：矩阵的行初等变换
对矩阵 $A$ 进行行初等变换，目的是将矩阵化简为阶梯形矩阵，以便于观察矩阵的秩。
步骤 2：化简矩阵
1. 第2、3、4行分别减去第1行的2、-1、2倍，得到：
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & t-4 & -5 \\ 0 & 5 & 5 \\ 0 & 5 & 5 \end{pmatrix} \]
2. 第3、4行减去第2行的 $\frac{5}{t-4}$ 倍（$t \neq 4$），得到：
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & t-4 & -5 \\ 0 & 0 & \frac{5(t+1)}{t-4} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
步骤 3：确定矩阵的秩
为使矩阵的秩小于3，需 $\frac{5(t+1)}{t-4} = 0$，解得 $t = -1$（$t = 4$ 无意义）。
对矩阵 $A$ 进行行初等变换，目的是将矩阵化简为阶梯形矩阵，以便于观察矩阵的秩。
步骤 2：化简矩阵
1. 第2、3、4行分别减去第1行的2、-1、2倍，得到：
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & t-4 & -5 \\ 0 & 5 & 5 \\ 0 & 5 & 5 \end{pmatrix} \]
2. 第3、4行减去第2行的 $\frac{5}{t-4}$ 倍（$t \neq 4$），得到：
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & t-4 & -5 \\ 0 & 0 & \frac{5(t+1)}{t-4} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
步骤 3：确定矩阵的秩
为使矩阵的秩小于3，需 $\frac{5(t+1)}{t-4} = 0$，解得 $t = -1$（$t = 4$ 无意义）。