(7)int y^2ds，其中L为摆线的一拱x=a(t-sin t)，y=a(1-cos t)(0≤t≤2π)；

考查要点：本题主要考查对曲线积分的计算，特别是参数方程形式下曲线积分的转换与计算，以及三角函数的恒等变换和积分技巧。

解题核心思路：

1. 参数方程代入：将摆线的参数方程代入曲线积分公式，将曲线积分转化为关于参数$t$的定积分。
2. 计算弧长元素$ds$：通过参数方程的导数计算$ds$，并利用三角恒等式化简。
3. 积分化简与变量替换：将被积函数中的三角函数表达式化简为幂函数形式，通过变量替换简化积分区间。
4. 利用对称性与递推公式：结合三角函数的对称性和递推公式计算高次幂的积分。

破题关键点：

• 正确计算导数：准确求出$x(t)$和$y(t)$的导数，是后续计算$ds$的基础。
• 三角恒等式的应用：利用$1 - \cos t = 2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)$化简表达式。
• 变量替换与积分技巧：通过变量替换$u = \frac{t}{2}$简化积分区间，利用递推公式计算$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 u \, du$。

曲线积分转换为定积分

摆线的参数方程为：
$\begin{cases}x = a(t - \sin t) \\y = a(1 - \cos t)\end{cases} \quad (0 \leq t \leq 2\pi)$
弧长元素$ds$的计算公式为：
$ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt$
计算导数：
$\frac{dx}{dt} = a(1 - \cos t), \quad \frac{dy}{dt} = a \sin t$
代入得：
$ds = a \sqrt{(1 - \cos t)^2 + \sin^2 t} \, dt = a \sqrt{2(1 - \cos t)} \, dt$
利用三角恒等式$1 - \cos t = 2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)$，化简得：
$ds = 2a \sin\left(\frac{t}{2}\right) \, dt$

积分表达式化简

被积函数$y^2$为：
$y^2 = [a(1 - \cos t)]^2 = 4a^2 \sin^4\left(\frac{t}{2}\right)$
原积分转换为：
$\int_0^{2\pi} 4a^2 \sin^4\left(\frac{t}{2}\right) \cdot 2a \sin\left(\frac{t}{2}\right) \, dt = 8a^3 \int_0^{2\pi} \sin^5\left(\frac{t}{2}\right) \, dt$

变量替换与积分计算

令$u = \frac{t}{2}$，则$t = 2u$，$dt = 2du$，积分区间变为$u \in [0, \pi]$：
$8a^3 \int_0^{2\pi} \sin^5\left(\frac{t}{2}\right) \, dt = 16a^3 \int_0^{\pi} \sin^5 u \, du$
利用对称性$\int_0^{\pi} \sin^5 u \, du = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 u \, du$，得：
$16a^3 \cdot 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 u \, du = 32a^3 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 u \, du$
通过递推公式$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n u \, du = \frac{n-1}{n} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2} u \, du$，计算得：
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 u \, du = \frac{8}{15}$
最终结果为：
$32a^3 \cdot \frac{8}{15} = \frac{256a^3}{15}$