求隐函数的导数 设函数 y = y(x)由方程 y = sin (x + y)所确定，则 dy div dx = _ A. sin (x + y)÷ 1 - sin (x + y) B. cos (x + y)÷ 1 - cos (x + y) C. sin (x + y)÷ 1 - cos (x + y) D. cos (x + y)÷ 1 - sin (x + y)

考查要点：本题主要考查隐函数求导的方法，特别是对含有自变量和因变量的复合函数求导的应用。

解题核心思路：

1. 隐函数求导：对等式两边同时关于$x$求导，注意使用链式法则处理$y$的导数。
2. 分离变量：将含有$\frac{dy}{dx}$的项集中，解出$\frac{dy}{dx}$的表达式。

破题关键点：

• 正确应用链式法则对$\sin(x+y)$求导，注意参数$(x+y)$中$y$是$x$的函数。
• 通过代数变形将$\frac{dy}{dx}$单独分离出来。

对等式$y = \sin(x + y)$两边同时关于$x$求导：

1. 左边求导：
   $\frac{d}{dx} y = \frac{dy}{dx}.$

2. 右边求导：
   使用链式法则，外层函数为$\sin(u)$，内层函数为$u = x + y$，则：
   $\frac{d}{dx} \sin(x + y) = \cos(x + y) \cdot \frac{d}{dx}(x + y).$
   对$x + y$求导，得：
   $\frac{d}{dx}(x + y) = 1 + \frac{dy}{dx}.$
   因此，右边导数为：
   $\cos(x + y) \cdot \left(1 + \frac{dy}{dx}\right).$

3. 联立方程：
   将左右两边的导数等式联立：
   $\frac{dy}{dx} = \cos(x + y) \cdot \left(1 + \frac{dy}{dx}\right).$

4. 解方程求$\frac{dy}{dx}$：
   展开并整理含$\frac{dy}{dx}$的项：
   $\frac{dy}{dx} = \cos(x + y) + \cos(x + y) \cdot \frac{dy}{dx}.$
   移项得：
   $\frac{dy}{dx} - \cos(x + y) \cdot \frac{dy}{dx} = \cos(x + y).$
   提取公因子$\frac{dy}{dx}$：
   $\frac{dy}{dx} \left[1 - \cos(x + y)\right] = \cos(x + y).$
   最终解得：
   $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos(x + y)}{1 - \cos(x + y)}.$