题目

(10)int(sqrt(x-1))/(x)dx

(10)$\int\frac{\sqrt{x-1}}{x}dx$

题目解答

答案

令 $\sqrt{x-1} = t$，则 $x = t^2 + 1$，$dx = 2t \, dt$。代入原积分得： \[ \int \frac{\sqrt{x-1}}{x} \, dx = \int \frac{t}{t^2 + 1} \cdot 2t \, dt = \int \frac{2t^2}{t^2 + 1} \, dt. \] 将被积函数化简： \[ \frac{2t^2}{t^2 + 1} = 2 - \frac{2}{t^2 + 1}. \] 积分得： \[ \int \left(2 - \frac{2}{t^2 + 1}\right) \, dt = 2t - 2 \arctan t + C. \] 将 $t = \sqrt{x-1}$ 代回： \[ \boxed{2\sqrt{x-1} - 2 \arctan \sqrt{x-1} + C}. \]

解析

考查要点：本题主要考查不定积分的计算，特别是通过变量代换法简化被积函数的能力，以及对分式分拆和基本积分公式的应用。

解题核心思路：

  1. 选择合适的代换：令 $\sqrt{x-1} = t$，将根号表达式转化为多项式，简化积分形式。
  2. 化简被积函数：通过代数变形，将分式拆分为容易积分的形式。
  3. 应用基本积分公式：利用 $\int \frac{1}{t^2 + 1} dt = \arctan t + C$ 完成积分。
  4. 回代变量：将结果还原为关于 $x$ 的表达式。

破题关键点：

  • 变量代换的选择是关键，需通过观察被积函数的结构，选择能消除根号并简化分母的代换。
  • 分式分拆技巧将复杂的分式转化为简单项的组合，便于积分。

变量代换与化简

  1. 令 $\sqrt{x-1} = t$，则 $x = t^2 + 1$，$dx = 2t \, dt$。
  2. 代入原积分：
    $\int \frac{\sqrt{x-1}}{x} dx = \int \frac{t}{t^2 + 1} \cdot 2t \, dt = \int \frac{2t^2}{t^2 + 1} dt.$

分式分拆

将被积函数拆分为简单项：
$\frac{2t^2}{t^2 + 1} = 2 - \frac{2}{t^2 + 1}.$
推导过程：
$\frac{2t^2}{t^2 + 1} = \frac{2(t^2 + 1) - 2}{t^2 + 1} = 2 - \frac{2}{t^2 + 1}.$

积分计算

对拆分后的表达式逐项积分：
$\int \left(2 - \frac{2}{t^2 + 1}\right) dt = 2t - 2 \arctan t + C.$

回代变量

将 $t = \sqrt{x-1}$ 代回结果：
$2\sqrt{x-1} - 2 \arctan \sqrt{x-1} + C.$