设闭区域D由曲线y=x^3和直线y=1,x=-1所围成，函数f(x)连续，则积分iint_(D)y[1+xf(x^4+y^2)]mathrm(d)sigma=（） A (7)/(6) B (6)/(7) C (4)/(3). D (3)/(4)

为了求解积分 $\iint\limits_{D} y[1 + xf(x^4 + y^2)] \, d\sigma$，其中闭区域 $D$ 由曲线 $y = x^3$ 和直线 $y = 1$，$x = -1$ 所围成，我们首先将积分分成两部分： \[ \iint\limits_{D} y[1 + xf(x^4 + y^2)] \, d\sigma = \iint\limits_{D} y \, d\sigma + \iint\limits_{D} yxf(x^4 + y^2) \, d\sigma \] ### 第一部分：计算 $\iint\limits_{D} y \, d\sigma$ 区域 $D$ 可以描述为 $ -1 \leq x \leq 1 $ 和 $ x^3 \leq y \leq 1 $。因此，我们有： \[ \iint\limits_{D} y \, d\sigma = \int_{-1}^{1} \int_{x^3}^{1} y \, dy \, dx \] 先对 $y$ 积分： \[ \int_{x^3}^{1} y \, dy = \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{x^3}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{(x^3)^2}{2} = \frac{1}{2} - \frac{x^6}{2} = \frac{1 - x^6}{2} \] 再对 $x$ 积分： \[ \int_{-1}^{1} \frac{1 - x^6}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} (1 - x^6) \, dx \] 由于 $1 - x^6$ 是偶函数，所以： \[ \int_{-1}^{1} (1 - x^6) \, dx = 2 \int_{0}^{1} (1 - x^6) \, dx = 2 \left[ x - \frac{x^7}{7} \right]_{0}^{1} = 2 \left( 1 - \frac{1}{7} \right) = 2 \cdot \frac{6}{7} = \frac{12}{7} \] 因此： \[ \iint\limits_{D} y \, d\sigma = \frac{1}{2} \cdot \frac{12}{7} = \frac{6}{7} \] ### 第二部分：计算 $\iint\limits_{D} yxf(x^4 + y^2) \, d\sigma$ 考虑区域 $D$ 关于 $y$ 轴的对称性。函数 $yxf(x^4 + y^2)$ 是 $x$ 的奇函数（因为 $x$ 的一次幂是奇函数，而 $f(x^4 + y^2)$ 是 $x$ 的偶函数）。因此，奇函数在对称区间上的积分等于零： \[ \iint\limits_{D} yxf(x^4 + y^2) \, d\sigma = 0 \] ### 结合两部分 将两部分结果相加，得到： \[ \iint\limits_{D} y[1 + xf(x^4 + y^2)] \, d\sigma = \frac{6}{7} + 0 = \frac{6}{7} \] 因此，正确答案是 $\boxed{B}$。