若4阶矩阵A与B相似,矩阵A的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5,则行列式|B-1-E | =_________.

考查要点：本题主要考查相似矩阵的性质、特征值的运算规律以及行列式的计算方法。

解题核心思路：

1. 相似矩阵的特征值相同，因此矩阵B的特征值与A相同。
2. 矩阵的逆运算对特征值的影响：若矩阵B的特征值为$\lambda$，则$B^{-1}$的特征值为$\frac{1}{\lambda}$。
3. 矩阵与单位矩阵的线性组合的特征值：若矩阵$M$的特征值为$\mu$，则$M - E$的特征值为$\mu - 1$。
4. 行列式的计算：矩阵的行列式等于其特征值的乘积。

破题关键点：

• 将$|B^{-1} - E|$的计算转化为特征值的运算。

1. 确定B的特征值
   由于矩阵A与B相似，它们的特征值相同，因此B的特征值为$\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}$。

2. 求$B^{-1}$的特征值
   若矩阵B的特征值为$\lambda$，则$B^{-1}$的特征值为$\frac{1}{\lambda}$。因此，$B^{-1}$的特征值为$2, 3, 4, 5$。

3. 求$B^{-1} - E$的特征值
   矩阵$B^{-1} - E$的特征值为$B^{-1}$的特征值减1，即：
   $2 - 1 = 1, \quad 3 - 1 = 2, \quad 4 - 1 = 3, \quad 5 - 1 = 4.$

4. 计算行列式
   行列式$|B^{-1} - E|$等于其特征值的乘积：
   $1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24.$