函数 y=sqrt(2-x^2-y^2)+(1)/(sqrt(x^2+y^2-1)) 的定义域是A. (x,y)| 1 leq x^2 + y^2 leq 2B. (x,y)| 1 C. (x,y)| 1 D. (x,y)| 1 leq x^2 + y^2

考查要点：本题主要考查函数定义域的求解，涉及根式和分式的条件限制，需要综合多个条件确定变量的取值范围。

解题核心思路：

1. 分部分分析：分别处理根式和分式的定义域条件。
2. 条件整合：将各部分的条件取交集，得到最终定义域。
3. 几何意义：通过代数条件转化为几何区域，明确不等式的边界是否包含。

破题关键点：

• 根式条件：根号内非负，即 $2 - x^2 - y^2 \ge 0$，对应圆内或圆上。
• 分式条件：分母根号内严格大于零，即 $x^2 + y^2 - 1 > 0$，对应圆外区域。
• 边界处理：注意不等式是否包含等号，避免混淆“≥”与“>”。

步骤1：分析根式 $\sqrt{2 - x^2 - y^2}$ 的条件

根号内非负，即：
$2 - x^2 - y^2 \ge 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + y^2 \le 2.$
几何意义：点 $(x, y)$ 位于以原点为圆心、半径为 $\sqrt{2}$ 的圆内或圆上。

步骤2：分析分式 $\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 - 1}}$ 的条件

分母根号内必须严格大于零，即：
$x^2 + y^2 - 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + y^2 > 1.$
几何意义：点 $(x, y)$ 位于以原点为圆心、半径为 $1$ 的圆外。

步骤3：综合两个条件

需同时满足：

1. $x^2 + y^2 \le 2$
2. $x^2 + y^2 > 1$

因此，定义域为：
$1 < x^2 + y^2 \le 2.$
几何意义：点 $(x, y)$ 位于半径 $1$ 的圆外，且半径 $\sqrt{2}$ 的圆内或圆上。

选项分析

• A：包含 $x^2 + y^2 = 1$，但分式条件要求严格大于 $1$，排除。
• B：排除 $x^2 + y^2 = 2$，但根式条件允许等于 $2$，排除。
• C：正确，满足 $1 < x^2 + y^2 \le 2$。
• D：包含 $x^2 + y^2 = 1$，排除。