题目
简答题（共2题，20.0分）1. (10.0分) int ln xdx
简答题（共2题，20.0分）
1. (10.0分) $\int ln xdx$
题目解答
答案
要解决积分 $\int \ln x \, dx$，我们可以使用分部积分法。分部积分法的公式是：
\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]
在这个问题中，我们可以设 $u = \ln x$ 和 $dv = dx$。那么，我们需要找到 $du$ 和 $v$：
\[
du = \frac{1}{x} \, dx \quad \text{和} \quad v = \int dx = x
\]
现在，将 $u$，$v$，$du$ 和 $dv$ 代入分部积分法的公式中，我们得到：
\[
\int \ln x \, dx = (\ln x) \cdot x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx
\]
简化积分的右边，我们有：
\[
\int \ln x \, dx = x \ln x - \int 1 \, dx
\]
积分 $\int 1 \, dx$ 简单地是 $x$。因此，我们有：
\[
\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C
\]
其中 $C$ 是积分常数。所以，最终答案是：
\[
\boxed{x \ln x - x + C}
\]
解析
考查要点：本题主要考查不定积分的计算，特别是分部积分法的应用。
解题思路：分部积分法的核心是通过选择合适的函数作为$u$和$dv$，将原积分转化为更易计算的形式。对于$\int \ln x \, dx$，选择$u = \ln x$（因为它的导数$\frac{1}{x}$会简化积分过程），选择$dv = dx$（因为其积分$v = x$简单易求）。
步骤1：选择$u$和$dv$
设：
$u = \ln x \quad \Rightarrow \quad du = \frac{1}{x} \, dx, \quad dv = dx \quad \Rightarrow \quad v = x.$
步骤2：应用分部积分公式
分部积分公式为：
$\int u \, dv = uv - \int v \, du.$
代入$u$、$v$、$du$、$dv$：
$\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx.$
步骤3：简化剩余积分
右侧积分化简为：
$\int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = \int 1 \, dx = x.$
步骤4：组合结果
将所有部分代入，得到：
$\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C,$
其中$C$为积分常数。