题目
设有方阵A满足A2-3A-10E=0，证明：A与A-4E都是可逆矩阵，并求它们的逆矩阵．
设有方阵A满足A2-3A-10E=0，证明：A与A-4E都是可逆矩阵，并求它们的逆矩阵．
题目解答
答案
由A2-3A-10E=0，可得 [*] 则有[*]，所以|A|≠0，A为可逆矩阵・ 又因[*]，故[*] 另一方面，由A2-3A-10E=0可有A2-3A-4E=6E，从而(A-4E)(A+E)=6E， 所以 [*] 则 [*] 故A-4E为可逆矩阵，并且 [*]
解析
步骤 1：证明A是可逆矩阵
由A2-3A-10E=0，可得A(A-3E)=10E，即A(A-3E)=10E。由此可知，A与(A-3E)的乘积为一个非零常数倍的单位矩阵，因此A的行列式不为零，即|A|≠0，所以A是可逆矩阵。
步骤 2：求A的逆矩阵
由A(A-3E)=10E，可得A的逆矩阵为A-1=(A-3E)/10。
步骤 3：证明A-4E是可逆矩阵
由A2-3A-10E=0，可得A2-3A-4E=6E，即(A-4E)(A+E)=6E。由此可知，(A-4E)与(A+E)的乘积为一个非零常数倍的单位矩阵，因此(A-4E)的行列式不为零，即|A-4E|≠0，所以A-4E是可逆矩阵。
步骤 4：求A-4E的逆矩阵
由(A-4E)(A+E)=6E，可得A-4E的逆矩阵为(A-4E)-1=(A+E)/6。
由A2-3A-10E=0，可得A(A-3E)=10E，即A(A-3E)=10E。由此可知，A与(A-3E)的乘积为一个非零常数倍的单位矩阵，因此A的行列式不为零，即|A|≠0，所以A是可逆矩阵。
步骤 2：求A的逆矩阵
由A(A-3E)=10E，可得A的逆矩阵为A-1=(A-3E)/10。
步骤 3：证明A-4E是可逆矩阵
由A2-3A-10E=0，可得A2-3A-4E=6E，即(A-4E)(A+E)=6E。由此可知，(A-4E)与(A+E)的乘积为一个非零常数倍的单位矩阵，因此(A-4E)的行列式不为零，即|A-4E|≠0，所以A-4E是可逆矩阵。
步骤 4：求A-4E的逆矩阵
由(A-4E)(A+E)=6E，可得A-4E的逆矩阵为(A-4E)-1=(A+E)/6。