题目
3.若函数项级数sum u_(n)(x)在数集D上一致收敛，则u_{n)(x)}在D上一致收敛于0。A. 正确B. 错误
3.若函数项级数$\sum u_{n}(x)$在数集D上一致收敛，则$\{u_{n}(x)\}$在D上一致收敛于0。
A. 正确
B. 错误
题目解答
答案
A. 正确
解析
考查要点：本题主要考查函数项级数一致收敛性与通项函数序列一致收敛性的关系，需理解一致收敛的定义及其推论。
解题核心思路：
- 一致收敛的定义：函数项级数一致收敛意味着余项可以任意小；
- 通项与余项的关系：余项的绝对值之和控制通项的绝对值；
- 推导结论：通过余项的性质推出通项的一致收敛性。
破题关键点：
- 余项与通项的关系：余项 $\sum_{k=n+1}^{\infty} u_k(x)$ 的绝对值之和小于 $\epsilon$ 时，每个通项 $u_{n}(x)$ 的绝对值必然小于 $\epsilon$；
- 一致收敛的传递性：级数一致收敛保证通项一致趋于0。
一致收敛的定义：
- 函数项级数一致收敛：对任意 $\epsilon > 0$，存在 $N$，使得当 $n \geq N$ 时，对所有 $x \in D$，有
$\left| \sum_{k=n+1}^{\infty} u_k(x) \right| < \epsilon.$ - 函数序列一致收敛于0：对任意 $\epsilon > 0$，存在 $N$，使得当 $n \geq N$ 时，对所有 $x \in D$，有
$|u_n(x)| < \epsilon.$
推导过程：
- 余项的控制：由级数一致收敛，对 $\epsilon > 0$，存在 $N$，当 $n \geq N$ 时，
$\left| \sum_{k=n+1}^{\infty} u_k(x) \right| < \epsilon.$ - 通项与余项的关系：余项包含 $u_{n+1}(x), u_{n+2}(x), \dots$，根据绝对值不等式，
$|u_{n+1}(x)| \leq \left| \sum_{k=n+1}^{\infty} u_k(x) \right| < \epsilon.$ - 递推结论：对任意 $n \geq N+1$，有 $|u_n(x)| < \epsilon$，即 $\{u_n(x)\}$ 一致收敛于0。