题目

6. (10.0分) 1.求由曲线y=(1)/(x)与直线y=x及x=2所围成的图形的面积

6. (10.0分) 1.求由曲线$y=\frac{1}{x}$与直线y=x及x=2所围成的图形的面积

题目解答

答案

为了求由曲线 $ y = \frac{1}{x} $ 与直线 $ y = x $ 及 $ x = 2 $ 所围成的图形的面积，我们需要按照以下步骤进行： 1. **找到交点：** - 首先，找到曲线 $ y = \frac{1}{x} $ 与直线 $ y = x $ 的交点。设 $ \frac{1}{x} = x $，解得 $ x^2 = 1 $，所以 $ x = 1 $（因为 $ x = -1 $ 不在考虑的范围内，因为 $ x = 2 $ 是正的）。 - 因此，交点是 $ (1, 1) $。 - 另一个边界是 $ x = 2 $，此时 $ y = \frac{1}{2} $ 和 $ y = 2 $。所以，边界点是 $ (2, \frac{1}{2}) $ 和 $ (2, 2) $。 2. **确定积分区域：** - 从 $ x = 1 $ 到 $ x = 2 $，直线 $ y = x $ 在曲线 $ y = \frac{1}{x} $ 的上方。 - 因此，我们需要计算 $ y = x $ 和 $ y = \frac{1}{x} $ 之间的面积，从 $ x = 1 $ 到 $ x = 2 $。 3. **设置积分：** - 面积 $ A $ 可以表示为两个函数之差的积分： \[ A = \int_{1}^{2} \left( x - \frac{1}{x} \right) \, dx \] 4. **计算积分：** - 分别积分 $ x $ 和 $ \frac{1}{x} $： \[ \int_{1}^{2} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \] \[ \int_{1}^{2} \frac{1}{x} \, dx = \left[ \ln|x| \right]_{1}^{2} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 \] - 因此，面积 $ A $ 为： \[ A = \frac{3}{2} - \ln 2 \] 所以，由曲线 $ y = \frac{1}{x} $ 与直线 $ y = x $ 及 $ x = 2 $ 所围成的图形的面积是 $\boxed{\frac{3}{2} - \ln 2}$。

解析

考查要点：本题主要考查利用定积分求平面图形的面积，涉及曲线与直线的交点求解、积分区域的确定以及积分计算。

解题核心思路：

  1. 确定交点：找到曲线$y=\frac{1}{x}$与直线$y=x$的交点，以及直线$x=2$与两曲线的交点，明确图形边界。
  2. 划分积分区间：根据交点位置，确定积分上下限，判断积分区间内上下函数的位置关系。
  3. 设置积分表达式：用上方函数减去下方函数，对差值在积分区间内积分。
  4. 计算定积分：分别计算各部分积分并求差，得到最终面积。

破题关键点：

  • 交点求解：通过联立方程找到关键交点，确定积分区间。
  • 函数上下关系判断：在积分区间内，直线$y=x$始终位于曲线$y=\frac{1}{x}$上方。

1. 确定交点

  • 曲线$y=\frac{1}{x}$与直线$y=x$的交点：
    联立方程$\frac{1}{x} = x$，解得$x^2 = 1$，即$x=1$（舍去负解$x=-1$），对应点为$(1,1)$。

  • 直线$x=2$与两曲线的交点：

    • 当$x=2$时，$y=\frac{1}{2}$（对应曲线$y=\frac{1}{x}$），交点为$(2, \frac{1}{2})$。
    • 当$x=2$时，$y=2$（对应直线$y=x$），交点为$(2, 2)$。

2. 划分积分区间

从$x=1$到$x=2$，直线$y=x$始终在曲线$y=\frac{1}{x}$上方，因此面积可表示为两函数之差的积分。

3. 设置积分表达式

面积$A$为：
$A = \int_{1}^{2} \left( x - \frac{1}{x} \right) dx$

4. 计算定积分

  • 积分$x$的项：
    $\int_{1}^{2} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

  • 积分$\frac{1}{x}$的项：
    $\int_{1}^{2} \frac{1}{x} \, dx = \left[ \ln|x| \right]_{1}^{2} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$

  • 求差得面积：
    $A = \frac{3}{2} - \ln 2$