题目

求过点 B(1,-2,3)且与直线 B(1,-2,3)垂直又与平面B(1,-2,3) 平行的直线方程

求过点 $B(1,-2,3)$ 且与直线 $\begin{cases} x=3+t \newline y=t \newline z=-4t\end{cases}$ 垂直又与平面 $x-y+z=1$ 平行的直线方程

题目解答

答案

解：

直线 $\begin{cases} x=3+t \newline y=t \newline z=-4t\end{cases}$ 的方向向量 $n_1=\left\{1,1,-4\right\}$

平面 $x-y+z=1$ 的法向量 $n_2=\left\{1,-1,1\right\}$

因为所求直线与直线 $\begin{cases} x=3+t \newline y=t \newline z=-4t\end{cases}$ 垂直又与平面 $x-y+z=1$ 平行，故所求直线方向向量 $n=n_1\times n_2=\left\{5,-5,-2\right\}$

因为过点 $B(1,-2,3)$

故直线方程 $\frac{x-1}{5}=\frac{y+2}{-5}=\frac{z-3}{-2}$

解析

步骤 1：确定直线的方向向量
直线 $\left \{ \begin{matrix} x=3+t\\ y=t\\ z=-4t\end{matrix} \right.$的方向向量${v}_{1}=\{ 1,1,-4\} $，因为直线的参数方程中，$t$的系数就是方向向量的坐标。

步骤 2：确定平面的法向量
平面x-y+z=1的法向量${n}_{2}=\{ 1,-1,1\} $，因为平面方程的系数就是法向量的坐标。

步骤 3：确定所求直线的方向向量
因为所求直线与直线 $\left \{ \begin{matrix} x=3+t\\ y=t\\ z=-4t\end{matrix} \right.$垂直，又与平面x-y+z=1 平行，故所求直线方向向量$={n}_{1}\times {n}_{2}=\{ 5,-5,-2\} $，这里使用了向量的叉乘来确定垂直于两个已知向量的向量。

步骤 4：写出直线方程
因为过点 B(1,-2,3)，故直线方程$\dfrac {x-1}{5}=\dfrac {y+2}{-5}=\dfrac {z-3}{-2}$，这里使用了点向式方程来表示直线，其中点是直线上的一个点，向量是直线的方向向量。