1-16 一质点的运动方程为 =2t, y=19--|||-2t^2(SI).试求:-|||-(1)质点的轨迹方程;-|||-(2) t=2s 时质点的位置矢量,并计算第2s内的-|||-平均速度大小;-|||-(3)第2s末质点的瞬时速度和瞬时加速度.

考查要点：本题主要考查质点运动学的基本概念，包括轨迹方程的求解、位置矢量与平均速度的计算、瞬时速度与加速度的求导方法。

解题思路：

1. 轨迹方程：通过消去参数时间$t$，将$x(t)$和$y(t)$转化为$y(x)$的显式表达式。
2. 位置矢量与平均速度：位置矢量直接代入时间值得到；第2秒内的平均速度需计算$t=1$到$t=2$秒内的位移矢量，再求模长。
3. 瞬时速度与加速度：对位置函数求一阶导数得速度，二阶导数得加速度，注意单位向量的书写规范。

关键点：

• 消元法建立轨迹方程。
• 时间区间的准确选取（第2秒内对应$t=1$到$t=2$）。
• 导数运算的正确性，特别是符号和系数。

第（1）题：质点的轨迹方程

消去时间参数$t$

由$x=2t$得$t=\dfrac{x}{2}$，代入$y=19-2t^2$：
$y = 19 - 2\left(\dfrac{x}{2}\right)^2 = 19 - \dfrac{x^2}{2}$

结论：轨迹方程为$y = 19 - \dfrac{x^2}{2}$。

第（2）题：位置矢量与平均速度

位置矢量（$t=2$秒）

$x(2) = 2 \times 2 = 4, \quad y(2) = 19 - 2 \times 2^2 = 11$
位置矢量为$\vec{r}(2) = 4\mathbf{i} + 11\mathbf{j}$。

第2秒内的平均速度

• 位移矢量：$\Delta \vec{r} = \vec{r}(2) - \vec{r}(1)$
  $\vec{r}(1) = 2\mathbf{i} + 17\mathbf{j}, \quad \Delta \vec{r} = (4-2)\mathbf{i} + (11-17)\mathbf{j} = 2\mathbf{i} -6\mathbf{j}$
• 平均速度大小：
  $v_{\text{avg}} = \dfrac{|\Delta \vec{r}|}{\Delta t} = \dfrac{\sqrt{2^2 + (-6)^2}}{1} = \sqrt{40} \approx 6.32 \, \text{m/s}$

第（3）题：瞬时速度与加速度

瞬时速度（$t=2$秒）

对$x(t)=2t$和$y(t)=19-2t^2$求导：
$v_x = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 2, \quad v_y = \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = -4t$
代入$t=2$：
$\vec{v}(2) = 2\mathbf{i} -8\mathbf{j} \, \text{m/s}$

瞬时加速度

对速度函数求导：
$a_x = \dfrac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t} = 0, \quad a_y = \dfrac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t} = -4$
加速度为$\vec{a} = -4\mathbf{j} \, \text{m/s}^2$。