求 int(cos2x)/(cos^2xsin^2x) dx 。

考查要点：本题主要考查三角函数的积分技巧，特别是利用三角恒等式简化被积函数的能力，以及对基本积分公式的熟练应用。

解题核心思路：

1. 利用三角恒等式将分子中的$\cos 2x$展开为$\cos^2x - \sin^2x$，从而与分母中的$\cos^2x \sin^2x$产生约简。
2. 拆分分式，将积分转化为两个基本三角函数的积分之差。
3. 直接应用基本积分公式，分别计算$\int \csc^2x \, dx$和$\int \sec^2x \, dx$。

破题关键点：

• 识别$\cos 2x$的展开形式，选择合适的恒等式简化表达式。
• 正确拆分分式，将复杂的分式转化为已知积分形式。

步骤1：利用三角恒等式展开分子
将$\cos 2x$展开为$\cos^2x - \sin^2x$，原式变为：
$\int \frac{\cos^2x - \sin^2x}{\cos^2x \sin^2x} \, dx$

步骤2：拆分分式
将分子拆分为两个分数之差：
$\int \left( \frac{\cos^2x}{\cos^2x \sin^2x} - \frac{\sin^2x}{\cos^2x \sin^2x} \right) dx = \int \left( \frac{1}{\sin^2x} - \frac{1}{\cos^2x} \right) dx$

步骤3：应用基本积分公式
分别积分$\frac{1}{\sin^2x}$和$\frac{1}{\cos^2x}$：
$\int \csc^2x \, dx - \int \sec^2x \, dx = -\cot x - \tan x + C$