题目
8.求下列极限:-|||-(5)lim _(xarrow 0)((dfrac {{a)^x+(b)^x+(c)^x}(3))}^dfrac (1{x)}cdot (agt 0,bgt 0,cgt 0),
题目解答
答案
解析
步骤 1：利用对数的性质
首先，我们对给定的极限表达式取自然对数，以便将指数形式转换为乘积形式，从而简化计算。设 $y = \lim _{x\rightarrow 0}{(\dfrac {{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3})}^{\dfrac {1}{x}}$，则有 $\ln y = \lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{1}{x} \ln \left(\dfrac {{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3}\right)$。
步骤 2：应用洛必达法则
由于 $\ln y$ 的形式为 $\dfrac{0}{0}$，我们可以应用洛必达法则。对分子和分母分别求导，得到 $\ln y = \lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{d}{dx} \ln \left(\dfrac {{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3}\right)}{\dfrac{d}{dx} x}$。分子的导数为 $\dfrac{1}{\dfrac {{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3}} \cdot \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac {{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3}\right)$，分母的导数为 $1$。因此，$\ln y = \lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{1}{\dfrac {{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3}} \cdot \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac {{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3}\right)}{1}$。
步骤 3：计算导数并求极限
计算分子中的导数，得到 $\dfrac{d}{dx} \left(\dfrac {{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3}\right) = \dfrac{1}{3} \left(a^{x} \ln a + b^{x} \ln b + c^{x} \ln c\right)$。因此，$\ln y = \lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{1}{\dfrac {{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3}} \cdot \dfrac{1}{3} \left(a^{x} \ln a + b^{x} \ln b + c^{x} \ln c\right)}{1} = \lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{a^{x} \ln a + b^{x} \ln b + c^{x} \ln c}{a^{x}+b^{x}+c^{x}}$。当 $x \rightarrow 0$ 时，$a^{x} \rightarrow 1$，$b^{x} \rightarrow 1$，$c^{x} \rightarrow 1$，因此 $\ln y = \dfrac{\ln a + \ln b + \ln c}{3}$。因此，$y = e^{\dfrac{\ln a + \ln b + \ln c}{3}} = \sqrt[3]{abc}$。
首先，我们对给定的极限表达式取自然对数，以便将指数形式转换为乘积形式，从而简化计算。设 $y = \lim _{x\rightarrow 0}{(\dfrac {{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3})}^{\dfrac {1}{x}}$，则有 $\ln y = \lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{1}{x} \ln \left(\dfrac {{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3}\right)$。
步骤 2：应用洛必达法则
由于 $\ln y$ 的形式为 $\dfrac{0}{0}$，我们可以应用洛必达法则。对分子和分母分别求导，得到 $\ln y = \lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{d}{dx} \ln \left(\dfrac {{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3}\right)}{\dfrac{d}{dx} x}$。分子的导数为 $\dfrac{1}{\dfrac {{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3}} \cdot \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac {{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3}\right)$，分母的导数为 $1$。因此，$\ln y = \lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{1}{\dfrac {{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3}} \cdot \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac {{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3}\right)}{1}$。
步骤 3：计算导数并求极限
计算分子中的导数，得到 $\dfrac{d}{dx} \left(\dfrac {{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3}\right) = \dfrac{1}{3} \left(a^{x} \ln a + b^{x} \ln b + c^{x} \ln c\right)$。因此，$\ln y = \lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{1}{\dfrac {{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3}} \cdot \dfrac{1}{3} \left(a^{x} \ln a + b^{x} \ln b + c^{x} \ln c\right)}{1} = \lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{a^{x} \ln a + b^{x} \ln b + c^{x} \ln c}{a^{x}+b^{x}+c^{x}}$。当 $x \rightarrow 0$ 时，$a^{x} \rightarrow 1$，$b^{x} \rightarrow 1$，$c^{x} \rightarrow 1$，因此 $\ln y = \dfrac{\ln a + \ln b + \ln c}{3}$。因此，$y = e^{\dfrac{\ln a + \ln b + \ln c}{3}} = \sqrt[3]{abc}$。