题目

若函数 f(x)=lg(x+sqrt(x^2+2a)) 是奇函数，则 a= _________.

若函数 $f(x)=\lg(x+\sqrt{x^2+2a})$ 是奇函数，则 $a=$ _________.

题目解答

答案

我们已知函数： $$ f(x) = \lg(x + \sqrt{x^2 + 2a}) $$ 要求这个函数是**奇函数**，即满足： $$ f(-x) = -f(x) $$ --- ### 第一步：计算 $ f(-x) $ 将 $ -x $ 代入函数： $$ f(-x) = \lg(-x + \sqrt{(-x)^2 + 2a}) = \lg(-x + \sqrt{x^2 + 2a}) $$ --- ### 第二步：利用奇函数的性质 $ f(-x) = -f(x) $ 即： $$ \lg(-x + \sqrt{x^2 + 2a}) = -\lg(x + \sqrt{x^2 + 2a}) $$ 右边可以利用对数的性质： $$ -\lg(x + \sqrt{x^2 + 2a}) = \lg\left( \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 2a}} \right) $$ 所以等式变为： $$ \lg(-x + \sqrt{x^2 + 2a}) = \lg\left( \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 2a}} \right) $$ 由于对数函数是单调的，可以去掉对数，得到： $$ -x + \sqrt{x^2 + 2a} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 2a}} $$ --- ### 第三步：设 $ A = x + \sqrt{x^2 + 2a} $，则右边为 $ \frac{1}{A} $ 左边是：$ -x + \sqrt{x^2 + 2a} $ 我们来计算左边是否等于 $ \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 2a}} $ 考虑将右边有理化： $$ \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 2a}} \cdot \frac{x - \sqrt{x^2 + 2a}}{x - \sqrt{x^2 + 2a}} = \frac{x - \sqrt{x^2 + 2a}}{x^2 - (x^2 + 2a)} = \frac{x - \sqrt{x^2 + 2a}}{-2a} $$ 所以： $$ \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 2a}} = \frac{-(x - \sqrt{x^2 + 2a})}{2a} = \frac{-x + \sqrt{x^2 + 2a}}{2a} $$ 但我们之前有： $$ -x + \sqrt{x^2 + 2a} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 2a}} = \frac{-x + \sqrt{x^2 + 2a}}{2a} $$ 也就是说： $$ -x + \sqrt{x^2 + 2a} = \frac{-x + \sqrt{x^2 + 2a}}{2a} $$ 假设 $ -x + \sqrt{x^2 + 2a} \neq 0 $，我们可以两边同时除以它： $$ 1 = \frac{1}{2a} \quad \Rightarrow \quad 2a = 1 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{1}{2} $$ --- ### 第四步：验证 $ a = \frac{1}{2} $ 是否成立 代入 $ a = \frac{1}{2} $，则： $$ f(x) = \lg\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) $$ 计算 $ f(-x) $： $$ f(-x) = \lg\left(-x + \sqrt{x^2 + 1}\right) $$ 我们验证是否 $ f(-x) = -f(x) $ 考虑 $ f(x) + f(-x) = \lg\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) + \lg\left(-x + \sqrt{x^2 + 1}\right) $ 利用对数相加公式： $$ = \lg\left[ (x + \sqrt{x^2 + 1})(-x + \sqrt{x^2 + 1}) \right] $$ 计算括号内： $$ (-x + \sqrt{x^2 + 1})(x + \sqrt{x^2 + 1}) = (\sqrt{x^2 + 1} - x)(\sqrt{x^2 + 1} + x) = (\sqrt{x^2 + 1})^2 - x^2 = (x^2 + 1) - x^2 = 1 $$ 所以： $$ f(x) + f(-x) = \lg(1) = 0 \quad \Rightarrow \quad f(-x) = -f(x) $$ 确实为奇函数。 --- ### 最终答案： $$ \boxed{\frac{1}{2}} $$

解析

考查要点：本题主要考查奇函数的定义及其性质，以及对数函数的运算性质。解题的关键在于利用奇函数满足的条件$f(-x) = -f(x)$，通过代数变形和方程求解找到参数$a$的值。

解题思路：

  1. 代入奇函数定义：将$f(-x)$和$-f(x)$表达式写出，并建立等式。
  2. 对数运算性质：利用$\lg A = -\lg B$等价于$A = \frac{1}{B}$，去掉对数符号。
  3. 代数变形：通过有理化分母或观察代数结构，将方程转化为关于$a$的方程。
  4. 验证解的合理性：确保求得的$a$值满足原函数的定义域和奇函数条件。

步骤1：计算$f(-x)$

将$x$替换为$-x$，得：
$f(-x) = \lg\left(-x + \sqrt{(-x)^2 + 2a}\right) = \lg\left(-x + \sqrt{x^2 + 2a}\right)$

步骤2：利用奇函数性质$f(-x) = -f(x)$

等式两边变形：
$\lg\left(-x + \sqrt{x^2 + 2a}\right) = -\lg\left(x + \sqrt{x^2 + 2a}\right)$
右边利用对数性质$\lg A^{-1} = -\lg A$，得：
$\lg\left(-x + \sqrt{x^2 + 2a}\right) = \lg\left(\frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 2a}}\right)$

步骤3：去掉对数符号并化简

由于对数函数单调，等式内部相等：
$-x + \sqrt{x^2 + 2a} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 2a}}$
设$A = x + \sqrt{x^2 + 2a}$，则右边为$\frac{1}{A}$。左边可表示为：
$-x + \sqrt{x^2 + 2a} = \sqrt{x^2 + 2a} - x$
通过有理化分母，右边$\frac{1}{A}$可化简为：
$\frac{\sqrt{x^2 + 2a} - x}{2a}$
因此方程变为：
$\sqrt{x^2 + 2a} - x = \frac{\sqrt{x^2 + 2a} - x}{2a}$

步骤4：解方程求$a$

假设$\sqrt{x^2 + 2a} - x \neq 0$，两边约去公因子得：
$1 = \frac{1}{2a} \quad \Rightarrow \quad a = \frac{1}{2}$

步骤5：验证解的正确性

代入$a = \frac{1}{2}$，验证$f(-x) = -f(x)$：
$f(x) = \lg\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right), \quad f(-x) = \lg\left(-x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$
计算$f(x) + f(-x)$：
$\lg\left[(x + \sqrt{x^2 + 1})(-x + \sqrt{x^2 + 1})\right] = \lg(1) = 0$
因此$f(-x) = -f(x)$，验证成立。