题目
设二维连续型随机变量((X)^6X)的联合密度函数((X)^6X)试求：（1）常数((X)^6X)； （2）((X)^6X)；（3）((X)^6X)的边缘密度； （4）问((X)^6X)是否独立。
设二维连续型随机变量
的联合密度函数
试求：（1）常数
； （2）
；
（3）
的边缘密度； （4）问是否独立。
题目解答
答案
（1）由联合概率密度函数的归一性可知：
即
解得：
于是
（2）
（3）
（4）由
可知
相互独立.
故答案为：（1）
（2）
（3）
（4）相互独立
解析
步骤 1：求常数c
由联合概率密度函数的归一性可知：
${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dxdy=1$
即+∞ +∞ $C$ dx e 4ydy= -3x- 0
$c{\int }_{0}^{-\infty }(-\dfrac {1}{4}{e}^{-3x-4v}+\dfrac {10}{0})dx=c{\int }_{0}^{+\infty }\dfrac {1}{4}{e}^{-3x}dx$
$=c(-\dfrac {1}{12}{e}^{-3\pi }{|}^{+\infty })=\dfrac {c}{12}=1$
解得：c=12
步骤 2：求P(XP(X12 +∞ $(-\dfrac {1}{4}{e}^{-3x-4y}{\int }_{0}^{x})dy={\int }_{0}^{+\infty }3({e}^{-3x}-{e}^{-7x})dx$ 0
$=(-{e}^{-3x}+\dfrac {3}{7}{e}^{-7x}){|}_{0}^{+\infty }=1-\dfrac {3}{7}=\dfrac {4}{7}$
步骤 3：求X,Y的边缘密度
${f}_{x}(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy$
= $\left \{ \begin{matrix} {\int }_{0}^{+\infty }12{e}^{-3x-4y}dy,x\gt 0\\ 0,x\leqslant 0\end{matrix} \right.$ = $\left \{ \begin{matrix} 3{e}^{-3x},x\gt 0\\ 0,x\leqslant 0\end{matrix} \right.$
${f}_{Y}(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx$
= $\left \{ \begin{matrix} {\int }_{0}^{+\infty }12{e}^{-3x-4y}dx,y\gt 0\\ 0,y\leqslant 0\end{matrix} \right.$ = $\left \{ \begin{matrix} 4{e}^{-4y},y\gt 0\\ 0,y\leqslant 0\end{matrix} \right.$
步骤 4：判断X,Y是否独立
由${f}_{Y}(y)\cdot {f}_{x}(x)=f(x,y)$可知
X,Y相互独立.
由联合概率密度函数的归一性可知：
${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dxdy=1$
即+∞ +∞ $C$ dx e 4ydy= -3x- 0
$c{\int }_{0}^{-\infty }(-\dfrac {1}{4}{e}^{-3x-4v}+\dfrac {10}{0})dx=c{\int }_{0}^{+\infty }\dfrac {1}{4}{e}^{-3x}dx$
$=c(-\dfrac {1}{12}{e}^{-3\pi }{|}^{+\infty })=\dfrac {c}{12}=1$
解得：c=12
步骤 2：求P(X
$=(-{e}^{-3x}+\dfrac {3}{7}{e}^{-7x}){|}_{0}^{+\infty }=1-\dfrac {3}{7}=\dfrac {4}{7}$
步骤 3：求X,Y的边缘密度
${f}_{x}(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy$
= $\left \{ \begin{matrix} {\int }_{0}^{+\infty }12{e}^{-3x-4y}dy,x\gt 0\\ 0,x\leqslant 0\end{matrix} \right.$ = $\left \{ \begin{matrix} 3{e}^{-3x},x\gt 0\\ 0,x\leqslant 0\end{matrix} \right.$
${f}_{Y}(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx$
= $\left \{ \begin{matrix} {\int }_{0}^{+\infty }12{e}^{-3x-4y}dx,y\gt 0\\ 0,y\leqslant 0\end{matrix} \right.$ = $\left \{ \begin{matrix} 4{e}^{-4y},y\gt 0\\ 0,y\leqslant 0\end{matrix} \right.$
步骤 4：判断X,Y是否独立
由${f}_{Y}(y)\cdot {f}_{x}(x)=f(x,y)$可知
X,Y相互独立.