题目
4.4,设随机变量X的概率密度为-|||-f(x)= ) 2x,0lt xleqslant 1 0,+2) D(X)、 (2x+1),
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算E(X)
E(X)是随机变量X的期望值，计算公式为E(X) = ∫x·f(x)dx，其中f(x)是X的概率密度函数。对于给定的概率密度函数f(x) = 2x，0 < x ≤ 1，我们有：
E(X) = ∫[0,1] x·2x dx = 2∫[0,1] x^2 dx = 2[x^3/3]_0^1 = 2(1/3 - 0) = 2/3
步骤 2：计算E(3X^2 + 2)
E(3X^2 + 2) = 3E(X^2) + 2，其中E(X^2) = ∫x^2·f(x)dx。对于给定的概率密度函数f(x) = 2x，0 < x ≤ 1，我们有：
E(X^2) = ∫[0,1] x^2·2x dx = 2∫[0,1] x^3 dx = 2[x^4/4]_0^1 = 2(1/4 - 0) = 1/2
因此，E(3X^2 + 2) = 3(1/2) + 2 = 3/2 + 2 = 7/2
步骤 3：计算D(X)
D(X)是随机变量X的方差，计算公式为D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2。我们已经计算出E(X) = 2/3和E(X^2) = 1/2，因此：
D(X) = 1/2 - (2/3)^2 = 1/2 - 4/9 = 9/18 - 8/18 = 1/18
步骤 4：计算D(2X + 1)
D(2X + 1) = 4D(X)，因为方差的性质之一是D(aX + b) = a^2D(X)，其中a和b是常数。我们已经计算出D(X) = 1/18，因此：
D(2X + 1) = 4D(X) = 4(1/18) = 4/18 = 2/9
E(X)是随机变量X的期望值，计算公式为E(X) = ∫x·f(x)dx，其中f(x)是X的概率密度函数。对于给定的概率密度函数f(x) = 2x，0 < x ≤ 1，我们有：
E(X) = ∫[0,1] x·2x dx = 2∫[0,1] x^2 dx = 2[x^3/3]_0^1 = 2(1/3 - 0) = 2/3
步骤 2：计算E(3X^2 + 2)
E(3X^2 + 2) = 3E(X^2) + 2，其中E(X^2) = ∫x^2·f(x)dx。对于给定的概率密度函数f(x) = 2x，0 < x ≤ 1，我们有：
E(X^2) = ∫[0,1] x^2·2x dx = 2∫[0,1] x^3 dx = 2[x^4/4]_0^1 = 2(1/4 - 0) = 1/2
因此，E(3X^2 + 2) = 3(1/2) + 2 = 3/2 + 2 = 7/2
步骤 3：计算D(X)
D(X)是随机变量X的方差，计算公式为D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2。我们已经计算出E(X) = 2/3和E(X^2) = 1/2，因此：
D(X) = 1/2 - (2/3)^2 = 1/2 - 4/9 = 9/18 - 8/18 = 1/18
步骤 4：计算D(2X + 1)
D(2X + 1) = 4D(X)，因为方差的性质之一是D(aX + b) = a^2D(X)，其中a和b是常数。我们已经计算出D(X) = 1/18，因此：
D(2X + 1) = 4D(X) = 4(1/18) = 4/18 = 2/9