从区间(0,1)内任取两数，求这两个数的积小于(1)/(4)的概率。

我们来解决这个概率问题：

题目：从区间 $(0,1)$ 内任取两个数，求这两个数的积小于 $\frac{1}{4}$ 的概率。

第一步：理解题意

从区间 $(0,1)$ 中独立且均匀地任取两个数，记为 $x$ 和 $y$，即：

• $x \in (0,1)$，$y \in (0,1)$，
• $x$ 和 $y$ 服从 $(0,1)$ 上的均匀分布，且相互独立。

我们要求的是概率：
$P(xy < \frac{1}{4})$

第二步：转化为几何概率问题

由于 $x$ 和 $y$ 都在 $(0,1)$ 内，我们可以将所有可能的 $(x, y)$ 看作单位正方形 $(0,1) \times (0,1)$ 内的点。

这个单位正方形的面积是 1。

我们要求的是满足 $xy < \frac{1}{4}$ 的区域在这个正方形中所占的面积，即：
$P = \iint_{\{(x,y)\in(0,1)^2 \mid xy < \frac{1}{4}\}} dx\,dy$

第三步：分析区域 $xy < \frac{1}{4}$

我们考虑曲线 $xy = \frac{1}{4}$，即 $y = \frac{1}{4x}$。

在单位正方形 $(0,1) \times (0,1)$ 中，这条双曲线将区域分成两部分：

• 当 $xy < \frac{1}{4}$：在双曲线下方；
• 当 $xy > \frac{1}{4}$：在双曲线上方。

我们关心的是 $xy < \frac{1}{4}$ 的面积。

注意：当 $x$ 很小时，$\frac{1}{4x}$ 会大于 1，此时 $y = \frac{1}{4x} > 1$，但 $y$ 最大只能是 1，所以我们需要找到双曲线 $y = \frac{1}{4x}$ 与 $y=1$ 的交点。

令 $y = 1 = \frac{1}{4x}$，解得：
$x = \frac{1}{4}$

同理，当 $x < \frac{1}{4}$ 时，$\frac{1}{4x} > 1$，所以在 $x \in (0, \frac{1}{4})$ 时，对任意 $y \in (0,1)$，都有 $xy < x \cdot 1 < \frac{1}{4}$，即整个竖直条带 $x \in (0, \frac{1}{4})$ 都满足 $xy < \frac{1}{4}$。

而当 $x \in [\frac{1}{4}, 1)$ 时，只有当 $y < \frac{1}{4x}$ 时，才满足 $xy < \frac{1}{4}$。

第四步：分段积分计算面积

我们将满足 $xy < \frac{1}{4}$ 的区域分为两部分：

1. 当 $0 < x \leq \frac{1}{4}$：

对于这些 $x$，任意 $y \in (0,1)$ 都满足 $xy < \frac{1}{4}$，所以这部分面积是：
$\int_0^{1/4} \int_0^1 dy\,dx = \int_0^{1/4} 1\,dx = \frac{1}{4}$

2. 当 $\frac{1}{4} < x < 1$：

此时要求 $y < \frac{1}{4x}$，且 $y > 0$，所以这部分面积是：
$\int_{1/4}^1 \int_0^{1/(4x)} dy\,dx = \int_{1/4}^1 \frac{1}{4x}\,dx$

计算这个积分：
$\int_{1/4}^1 \frac{1}{4x}\,dx = \frac{1}{4} \int_{1/4}^1 \frac{1}{x}\,dx = \frac{1}{4} [\ln x]_{1/4}^1 = \frac{1}{4} (\ln 1 - \ln \frac{1}{4}) = \frac{1}{4} (0 - (-\ln 4)) = \frac{1}{4} \ln 4$

而 $\ln 4 = \ln(2^2) = 2\ln 2$，所以：
$\frac{1}{4} \ln 4 = \frac{1}{4} \cdot 2\ln 2 = \frac{1}{2} \ln 2$

第五步：总面积（即概率）

将两部分面积相加：
$P = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \ln 2$

第六步：数值近似（可选）

$\ln 2 \approx 0.6931$，所以：
$P \approx 0.25 + 0.5 \times 0.6931 = 0.25 + 0.34655 = 0.59655$

即大约 59.66% 的概率。

最终答案：

$\boxed{\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \ln 2}$

这就是从 $(0,1)$ 中任取两数，其积小于 $\frac{1}{4}$ 的概率。