题目
①,曲线 y=f(x) 上点P(x,y)处切线的斜率等于该点坐标之积的两倍,且该曲线过点(0,2 ),-|||-则 f(x)= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定微分方程
根据题意，曲线 y=f(x) 上点P(x,y)处切线的斜率等于该点坐标之积的两倍，即 y' = 2xy。因此，我们得到一个一阶线性微分方程 y' - 2xy = 0。
步骤 2：求解微分方程
这是一个一阶线性微分方程，可以使用积分因子法求解。首先，找到积分因子 μ(x) = e^(-∫2x dx) = e^(-x^2)。然后，将原方程两边同时乘以积分因子，得到 e^(-x^2)y' - 2xe^(-x^2)y = 0。这可以写成 (e^(-x^2)y)' = 0。因此，e^(-x^2)y = C，其中 C 是积分常数。从而得到 y = Ce^(x^2)。
步骤 3：确定常数 C
由于曲线过点 (0,2)，代入 x=0, y=2，得到 2 = Ce^(0^2) = C。因此，C = 2。
根据题意，曲线 y=f(x) 上点P(x,y)处切线的斜率等于该点坐标之积的两倍，即 y' = 2xy。因此，我们得到一个一阶线性微分方程 y' - 2xy = 0。
步骤 2：求解微分方程
这是一个一阶线性微分方程，可以使用积分因子法求解。首先，找到积分因子 μ(x) = e^(-∫2x dx) = e^(-x^2)。然后，将原方程两边同时乘以积分因子，得到 e^(-x^2)y' - 2xe^(-x^2)y = 0。这可以写成 (e^(-x^2)y)' = 0。因此，e^(-x^2)y = C，其中 C 是积分常数。从而得到 y = Ce^(x^2)。
步骤 3：确定常数 C
由于曲线过点 (0,2)，代入 x=0, y=2，得到 2 = Ce^(0^2) = C。因此，C = 2。