13.已知3阶矩阵A的特征值为1,2, -3, 求 |A'+3A+2E|.

步骤 1：计算矩阵A的行列式
已知矩阵A的特征值为1, 2, -3，根据特征值的性质，矩阵A的行列式等于其特征值的乘积，即：
\[ |A| = 1 \times 2 \times (-3) = -6 \]

步骤 2：计算矩阵A的伴随矩阵A'
根据伴随矩阵的定义，对于一个可逆矩阵A，其伴随矩阵A'满足：
\[ A' = |A|A^{-1} \]
由于 |A| = -6，所以：
\[ A' = -6A^{-1} \]

步骤 3：计算矩阵A' + 3A + 2E的特征值
根据矩阵的特征值性质，如果矩阵A的特征值为λ，则矩阵A' + 3A + 2E的特征值为：
\[ \varphi(\lambda) = -6\lambda^{-1} + 3\lambda + 2 \]
将矩阵A的特征值1, 2, -3代入上述公式，得到：
\[ \varphi(1) = -6 \times 1^{-1} + 3 \times 1 + 2 = -6 + 3 + 2 = -1 \]
\[ \varphi(2) = -6 \times 2^{-1} + 3 \times 2 + 2 = -3 + 6 + 2 = 5 \]
\[ \varphi(-3) = -6 \times (-3)^{-1} + 3 \times (-3) + 2 = 2 - 9 + 2 = -5 \]

步骤 4：计算矩阵A' + 3A + 2E的行列式
根据矩阵的行列式性质，矩阵A' + 3A + 2E的行列式等于其特征值的乘积，即：
\[ |A' + 3A + 2E| = \varphi(1) \times \varphi(2) \times \varphi(-3) = (-1) \times 5 \times (-5) = 25 \]