设D:0 leq x leq 1, 0 leq y leq 2(1-x)，由二重积分的几何意义知 iint_(D) (1 - x - (y)/(2)), dx , dy = ( )A. (1)/(3)B. (1)/(2)C. (1)/(4)D. 1

本题考查二重积分的几何意义及利用定积分计算体积。解题思路是先根据二重积分的几何意义判断出被积函数所表示的曲面和积分区域所表示的平面图形，然后确定该立体图形的形状，最后通过定积分计算其体积。

步骤一：分析被积函数和积分区域

• 被积函数$z = 1 - x - \frac{y}{2}$，它表示一个平面。
• 积分区域$D:0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 2(1 - x)$，它表示由$x = 0$，$y = 0$和$y = 2(1 - x)$所围成的三角形区域。

步骤二：确定立体图形的形状

由二重积分的几何意义可知，$\iint_{D} \left(1 - x - \frac{y}{2}\right)\, dx \, dy$表示以平面$z = 1 - x - \frac{y}{2}$为顶，以积分区域$D$为底的曲顶柱体的体积。该曲顶柱体是一个三棱锥。

步骤三：计算体积

我们可以通过先对$y$积分，再对$x$积分来计算体积。

• 先对$y$积分：
  $\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{2(1 - x)}\left(1 - x - \frac{y}{2}\right)dy$
  根据定积分的运算法则$\int_{a}^{b}(f(y)+g(y))dy=\int_{a}^{b}f(y)dy+\int_{a}^{b}g(y)dy$，可得：
  $\int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{2(1 - x)}(1 - x)dy - \int_{0}^{2(1 - x)}\frac{y}{2}dy\right]dx$
  分别计算两个积分：
  • 计算$\int_{0}^{2(1 - x)}(1 - x)dy$：
    因为$(1 - x)$与$y$无关，所以$\int_{0}^{2(1 - x)}(1 - x)dy=(1 - x)\int_{0}^{2(1 - x)}dy=(1 - x)\cdot y\big|_{0}^{2(1 - x)} = 2(1 - x)^2$。
  • 计算$\int_{0}^{2(1 - x)}\frac{y}{2}dy$：
    根据定积分公式$\int y^n dy=\frac{1}{n + 1}y^{n + 1}+C(n\neq -1)$，可得$\int_{0}^{2(1 - x)}\frac{y}{2}dy=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}y^2\big|_{0}^{2(1 - x)}=(1 - x)^2$。
    则$\int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{2(1 - x)}(1 - x)dy - \int_{0}^{2(1 - x)}\frac{y}{2}dy\right]dx=\int_{0}^{1}(2(1 - x)^2 - (1 - x)^2)dx=\int_{0}^{1}(1 - x)^2dx$。
• 再对$x$积分：
  令$t = 1 - x$，则$dt = -dx$。当$x = 0$时，$t = 1$；当$x = 1$时，$t = 0$。
  所以$\int_{0}^{1}(1 - x)^2dx=-\int_{1}^{0}t^2dt=\int_{0}^{1}t^2dt$。
  根据定积分公式$\int t^n dt=\frac{1}{n + 1}t^{n + 1}+C(n\neq -1)$，可得$\int_{0}^{1}t^2dt=\frac{1}{3}t^3\big|_{0}^{1}=\frac{1}{3}$。